Pernahkah kamu mendengar istilah himpunan? Misalnya, kamu mengelompokkan kambing, sapi, kerbau, kuda, kucing ke dalam kelompok hewan berkaki empat. Nah, itu sama artinya kamu membuat suatu himpunan hewan berkaki empat. Sama seperti bilangan, himpunan juga bisa dioperasikan. Lantas, seperti apa operasi himpunan itu? Simak ulasan selengkapnya!
Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan objek atau benda yang memiliki karakteristik yang sama dan bisa didefinisikan dengan jelas. Contohnya himpunan hewan berkaki empat, himpunan pembentuk kata “Quipper”, dan sebagainya.
Himpunan biasa dituliskan dengan kurung kurawal {}. Di dalam kurung kurawal ditulis anggota-anggota yang memenuhi. Perhatikan contoh berikut.
- Himpunan hewan berkaki empat = {kambing, sapi, kerbau, kuda, kucing}
- Himpunan pembentuk kata “Quipper” = {Q, U, I, P, E, R} -> untuk huruf P cukup ditulis satu saja, ya.
Cara Menyajikan Himpunan
Himpunan bisa disajikan ke dalam tiga bentuk, yaitu sebagai berikut.
- Enumerasi, yaitu dengan menuliskan anggotanya ke dalam kurung kurawal seperti contoh sebelumnya.
- Menuliskan sifat anggotanya, misal B = himpunan bilangan genap yang kurang dari 10.
- Membuat notasi anggota himpunan, misal B = {x|x < 10, x adalah bilangan genap}
Seluruh anggota himpunan yang saling berhubungan bisa dinyatakan dalam suatu diagram yang disebut diagram Venn. Perhatikan contoh berikut.
Keterangan:
S = himpunan semesta
= {a, b, c, d, e}
A = {b, d, e}
Artinya, A merupakan bagian dari S atau biasa ditulis A ⊂ S.
Operasi Himpunan
Sama seperti bilangan, himpunan juga bisa dioperasikan. Adapun bentuk operasi himpunan adalah sebagai berikut.
1. Irisan
Jika Quipperian punya dua himpunan, misal C dan D. Nah, ternyata ada anggota C yang juga anggota D. Anggota yang sama-sama dimiliki kedua himpunan itulah yang dinamakan irisan atau biasa dilambangkan ∩. Jika ditulis dalam bentuk notasi menjadi C ∩ D = {x|x ∈ C dan x ∈ D}.
Perhatikan contoh berikut.
C = {2, 4, 6, 8}
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ternyata, ada anggota C yang sama dengan D, yaitu 2, 4, 6. Dengan demikian,
C ∩ D = {2, 4, 6}.
2. Gabungan (union)
Gabungan adalah total seluruh anggota dari dua himpunan atau lebih. Gabungan biasa dilambangkan dengan ∪. Perhatikan contoh berikut.
C = {2, 4, 6, 8}
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
C ∪ D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
Nah, hasil dari C ∪ D itu disebut dengan himpunan semesta.
Ketentuan yang berlaku pada gabungan adalah sebagai berikut.
3. Komplemen
Komplemen himpunan B adalah semua anggota himpunan semesta (S) yang bukan anggota himpunan B. Komplemen ini biasa dinyatakan sebagai BC. Perhatikan contoh berikut.
S = {A, K, U, B, L, J, R}
B = {A, B, L, J}
BC = {K, U, R}
4. Selisih
Misalkan ada dua himpunan, yaitu A dan B. Selisih menunjukkan komplemen relatif B terhadap A atau sebaliknya.
Semua anggota himpunan A yang tidak termasuk anggota himpunan B disebut komplemen relatif B terhadap A. Secara matematis, dituliskan A – B.
Perhatikan contoh berikut.
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
B = {1, 3, 7, 9}
A – B = {5, 11}
Sifat yang berlaku pada selisih adalah sebagai berikut.
- Untuk A ∩ B = ∅, berlaku A – B = A atau B – A = B.
Misal:
A = {4, 6, 8}
B = {7, 9, 11}
A – B = {4, 6, 8}
- Untuk A ⊂ B, berlaku A – B = ∅.
Misal:
A = {3, 5 ,7}
B = {1, 3, 5, 7, 8}
A – B = {0} -> himpunan kosong atau tidak ada anggotanya.
Sifat Operasi Himpunan
Operasi himpunan memenuhi sifat-sifat berikut.
1. Pada sembarang himpunan P berlaku sifat berikut.
- P ∪ P = P dan P ∩ P = P (sifat idempoten)
- P ∪ ∅ = P dan P ∩ ∅ = P (sifat identitas)
2. Pada sembarang himpunan P dan Q berlaku sifat berikut.
P ∪ Q = Q ∪ P dan P ∩ Q = Q ∩ P (sifat komutatif)
3. Pada sembarang himpunan P, Q, dan R berlaku sifat berikut.
- P ∪ (Q ∪ R) = (P ∪ Q) ∪ R dan P ∩ (Q ∩ R) = (P ∩ Q) ∩ R (sifat asosiatif)
- P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R) dan P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) (sifat distributif)
Untuk mengasah pemahamanmu tentang operasi himpunan, simak contoh soal berikut ini.
Contoh Soal 1
Perhatikan dua himpunan berikut.
F = {A, K, U, P, I, N, T, R}
G = {D, I, A, P, N, T, R}
Tentukan irisan, gabungan, F – G, dan G – F!
Pembahasan:
- Irisan F ∩ G
F ∩ G = {A, I, P, N, T, R}
- Gabungan F ∪ G
F ∪ G = {A, D, K, U, P, N, T, R}
- F – G, yaitu semua anggota himpunan F yang tidak termasuk anggota himpunan G
F – G = {K, U}
- G – F, yaitu semua anggota himpunan G yang tidak termasuk anggota himpunan G
G – F = {D}
Contoh Soal 2
Jika A = {5, 10, 15, 20, …, 100} dan B = {15, 30, 45, …, 90}, tentukan nilai n(A + B)!
Pembahasan:
Tentukan semua anggota himpunan A.
A = {5, 10, 15, 20, …, 100}
Himpunan A merupakan himpunan bilangan bulat kelipatan 5, mulai 5 sampai 100. Artinya:
Tentukan semua anggota himpunan B.
B = {15, 30, 45, 60, 75, 90}
n(B) = 6
Jika diperhatikan, B ⊂ A dan A + B adalah himpunan anggota A atau B, namun bukan anggota A ∩ B, maka:
n(A + B) = n(A) – n(B) = 20 – 6 = 14.
Jadi, nilai n(A + B) = 14.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bisa bermanfaat buat Quipperian. Jika kamu ingin mendapatkan materi operasi himpunan lebih lanjut, silakan gabung bersama Quipper Video. Kamu bisa belajar bersama para tutor andal lewat tayangan video, rangkuman materi, contoh soal dan pembahasannya. Seru banget, kan! Buruan daftar, ya.
Penulis: Eka Viandari