Matematika Dasar SBMPTN Tentang Himpunan Bagian, Himpunan Ekuivalen, dan Himpunan Lepas (Saling Asing)

Matematika Dasar SBMPTN Tentang Himpunan Bagian, Himpunan Ekuivalen, dan Himpunan Lepas (Saling Asing)

Quipperian! Setelah kamu paham dengan Himpunan pada artikel sebelumnya, kamu perlu belajar lebih lagi tentang tindak lanjut Himpunan, seperti Hubungan Dua Himpunan, Dua Himpunan Sama, Dua Himpunan Ekuivalen, Dua Himpunan Lepas (Saling Asing).

Yuk mulai Belajar!

Hubungan Dua Himpunan

Tiap dua himpunan mempunyai hubungan, di antaranya;

  1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
  2. Dua himpunan saling asing (saling lepas) 3. dua himpunan berpotongan atau 4. dua himpunan ekuivalen Berikut ini akan dibahas tiap-tiap hubungan dua himpunan tersebut. a. Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan Bagian

Perhatikan contoh berikut ini. Misalkan A = {1, 5} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Perhatikan bahwa 1 dan 5 masing-masing merupakan anggota dari himpunan A dan juga merupakan anggota dari himpunan B. Dapat dikatakan bahwa setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B pula. Hal seperti ini dikatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B. Pengertian himpunan bagian ini secara formal didefinisikan sebagai berikut:

“Himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B (ditulis A  B}, jika setiap anggota A merupakan anggota B. Aatau dapat ditulis sebagai; A  B jhj x, xAxB”

Perhatikan contoh berikut:

  1. Misalkan D = {a, e, i, u, o}, yaitu himpunan semua vocal dalam abjad Latin dan E = {a, b, c, d, . . ., z}, yaitu himpunan semua abjad Latin, maka D  E. Dan jika F adalah himpunan semua kosonan dalam abjad Latin, maka F  E pula.
  2. Apabila A = {x│x bilangan asli} dan P = {2, 3, 5, 7, . . .}, yaitu himpunan semua bilangan prima, maka P  A. Dan jika B = { x│x bilangan bulat}, maka A  B dan P  B.
  3. Jika X = {t│t segiempat} dan Y = {r│r jajargenjang}, maka Y  X. Dan apabila Z = {z│z belah ketupat}, maka Z  Y dan Z  X.
  4. Benarkah bahwa A  A, untuk setiap himpunan A? Memperhatikan Definisi 4.1 maka setiap anggota dari himpunan A mesti merupakan anggota dari himpunan A. Sehingga pastilah benar bahwa A  A. Selanjutnya dikatakan bahwa A adalah himpunan bagian tak sejati (improper subset) dari A
  5. Benarkah bahwa Ø  A, untuk setiap himpunan A? Menurut Definisi 4.1 Ø  A jika dan hanya jika  x, x  Ø  x  A. Karena x  Ø adalah suatu pernyataan yang bernilai salah, sebab Ø adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota satupun, Maka kalimat implikasi x  Ø  x  A bernilai benar, sebab pendahulu/antesendennya bermnilai salah. Sehingga kalimat “  x, x  Ø  x  A” bernilai benar, dengan denikian Ø  A benar. Seperti juga pada contoh 4.4 Ø merupakan himpunan bagian tak sejati dari A pula. Himpunan bagian dari A, selain Ø dan A (jika ada) disebut himpunan bagian sejati (proper subset) dari A. Selanjutnya dalam kegiatan belajar ini, jika tidak ada keterangan apa-apa, maka yang dimaksud kata-kata “himpunan bagian” adalah mencakup himpunan bagian sejati maupun himpunan bagian tak sejati.
  6. Semua himpunan bagian dari {a, b, c} adalah { }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, adan {a, b, c}. Jadi banyaknya himpunan bagian dari {a, b, c} adalah 8. Berapakah banyaknya himpunan bagian dari {a, b, c, d}?

A  B dapat pula dibaca “A termuat dalam B” yang sama artinya dengan “B memuat A” yang diberi simbol dengan “B  A” (B is a subset of A).

Apabila A bukan himpunan bagian dari B, atau A tidak termuat dalam B, disimbolkan dengan A  B. Dalam suatu pembahasan kadang-kadang kita harus membatasi diri, agar pembahasan kita terfokus pada permasalahan yang dibahas. Dalam pembahasan himpunan, kita perlu menetapkan suatu himpunan yang anggota-anggota atau himpunan bagian-himpunan bagiannya merupakan sumber pembahasan.

Himpunan seperti ini disebut Himpunan Semesta atau Semesta Pembicaraan (Universal Set), yang bisa diberi lambang dengan huruf S atau U. Himpunan semesta yang dfitetapkan tergantung pada permasalahan yang sedang dibahas. Misalnya, dalam suatu keadaan mungkin himpunan semua bilangan rasiaonal sebagai himpunan semesta, dalam keadaan lain mungkin himpunan semua orang di Palu, himpunan semua segitiga, himpunan semua segi empat, atau himpunan semua titik pada suatu bidang datar didefinisikan sebagai himpunan semesta.

Suatu himpunan dapat digambarkan dalam suatu diagram yang biasa disebut diagram Venn-Euler atau ada yang hanya menyebut diagram Venn saja. Himpunan semesta biasa digambarkan sebagai persegi panjang dan himpunan bagian-himpunan bagian digambarkan sebagai kurva-kurva tertutup sederhana.

 

Kamu Masih Takut dengan Matematika? Kamu hanya Butuh Les Matematika Online, kok!

Dua Himpunan Sama

Dua himpunan A dan B dikatakan sama (ditulis A = B) jika setiap anggota A merupakan anggota B, dan setiap anggota B merupakan anggota A pula. Dapat ditulis:

Matematika Dasar SBMPTN Tentang Himpunan Relasi, Himpunan Ekuivalen, dan Himpunan Lepas (Saling Asing)

Atau ditulis lebih singkat menjadi A = B jhj A  B & B  A. Hal ini secara formal dinyatakan sebagai definisi berikut ini:

Himpunan-himpunan A dan B dikatakan sama (ditulis A = B) jika A merupakan himpunan bagian dari B dan B merupakan himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, dikatakan A tidak sama dengan B (ditulis A ≠ B).

Contoh:

1) Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 2, 1, 3}, maka A = B

2) Jika A = {x│x bilangan asli} dan B = {y│y bilangan bulat positif}, maka A = B

3) Jika P = {1, 2} dan K = { x│x2 – 3x + 2 = 0 dan x bilangan real}, maka P = K

4) Jika M = { x│x huruf pembentuk kata “matematika”} dan N = {k, e, t, a, m, i}, maka M = N

 

Dua Himpunan Ekuivalen

Dua himpunan berhingga A dan B dengan n(A) = n(B), yaitu banyaknya anggota A sama dengan banaknya anggota B, maka dkatakan bahwa himpunan A ekuivalen dengan himpunan B (ditulis A ~ B). Misalnya, A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {a, b, c, d, e} adalah dua himpunan yang ekuivalen, atau ditulis A ~ B. Apabila himpunan M sama dengan himpunan N, maka M ~ N, tetapi tidak sebaliknya.

Perhatikan bahwa ketentuan tersebut hanya dikhususkan untuk himpunan-himpunan yang berhingga saja. Untuk himpunan-himpunan sehingga yang ekuivalen didefinisikan dengan menggunakan pengertian korespondensi satu-satu yang akan dibahas pada materi berikutnya.

 

Tips Menghapal Rumus Matematika dengan Cepat dan Tepat!

Dua Himpunan Lepas (Saling Asing)

Dua himpunan yang tidak kosong A dan B dikatakan saling asing/lepas (ditulis A//B) dan dibaca A lepas dengan B jika dua himpunan itu tidak mempunyai anggota persekutuan, atau setiap anggota A bukan anggota B dan setiap anggota B bukan anggota A.

Contoh:

  1. Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {7, 8, 9, 16}, maka A//B
  2. Jika P = {k, e, t, a, m} dan T = {p, u, r, I, n, g}, maka P//T
  3. Jika M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan N = {x│x = 3 dan x bilangan asli}, maka M tidak lepas dengan N  

Operasi-Operasi pada Himpunan

Apabila diketahui dua himpunan atau lebih, kita dapat membentuk himpunan baru dengan mengoperasikan himpunan-himpunan yang diketahui tersebut. Operasi-operasi pada himpunanhimpunan adalah Irisan (  ), gabungan (  ), selisih ( – ) dan komplemen (…C , atau …1 )

Penulis: Sritopia



Yuk, mulai siap-siap PTS! Kode promo: CERMAT Mulai belajar