Hai Quipperian, apakah kamu bisa melanjutkan urutan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, …, …? Hayo, tiga bagian yang rumpang itu diisi oleh bilangan berapa saja? Ya, betul sekali. Ketiga bagian rumpang itu diisi oleh bilangan 15, 17, dan 19. Mudah kan? Sekarang, coba tentukan bilangan berapa yang terletak di urutan ke-20? Nah, pasti mulai pusing kan? Untuk mencari bilangan di urutan yang cukup besar, kamu bisa menggunakan aturan barisan dan deret aritmatika, lho. Apa yang dimaksud barisan aritmatika? Yuk, simak selengkapnya!
Pengertian Barisan Aritmatika
Aritmatika terdiri dari barisan dan deret, sehingga biasa disebut barisan aritmatika atau deret aritmatika. Apa perbedaan antara barisan dan deret?
Pengertian Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah barisan atau urutan bilangan yang memiliki selisih tetap. Contohnya seperti pada pembukaan artikel ini, yaitu urutan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, dan seterusnya. Jika diperhatikan, selisih antarbilangannya selalu tetap, yaitu 2. Selisih pada barisan aritmatika disebut sebagai beda atau dinyatakan secara matematis sebagai b. Setiap bilangan yang menyusun barisan disebut suku atau dinyatakan sebagai Un . Misalnya, 1 = suku ke-1 (U1), 3 = suku ke-2 (U2), 5 = suku ke-3 (U3), dan seterusnya. Sementara itu, suku pertama (U1) pada barisan dinyatakan secara matematis sebagai a.
Pengertian Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah jumlah n suku pertama (Sn) dari barisan aritmatika. Ciri deret aritmatika adalah suku-suku bilangan yang dijumlahkan memiliki selisih tetap. Contohnya adalah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + …, dan seterusnya. Lantas, apa perbedaan deret aritmatika dengan deret geometri? Perbedaannya adalah deret geometri berlaku untuk barisan geometri, yaitu barisan yang polanya berupa perkalian atau pembagian. Ciri barisan aritmatika yang membedakannya dengan barisan geometri adalah selisih sukunya yang selalu tetap.
Rumus Barisan dan Deret Aritmatika
Rumus barisan aritmatika biasanya digunakan untuk menentukan suku ke-n dari suatu barisan. Sementara itu, rumus deret digunakan untuk menghitung jumlah n suku pada rentang tertentu. Itulah mengapa, rumus barisan dan deret aritmatika itu berbeda. Untuk perumusan masing-masing adalah sebagai berikut.
Rumus Barisan Aritmatika
Rumus barisan aritmatika tidak bisa terlepas dari ketiga variabel yang telah disebutkan sebelumnya, yaitu selisih atau beda (b), suku pertama (a), dan posisi suku ke-n (n). Secara matematis, suku ke-n (Un) barisan aritmatika dirumuskan sebagai berikut.
Dengan:
Un = suku ke-n;
a = suku ke-1;
n = posisi suku yang ditanyakan; dan
b = selisih (Un-1 – Un).
Setelah mengetahui rumus barisan aritmatika di atas, cobalah untuk menyelesaikan tantangan di awal artikel ini. Berapakah suku ke-20 dari barisan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, …, …?
Dari barisan tersebut diperoleh:
a = 1
b = 2
Suku ke-20 dinyatakan sebagai U20. Dengan demikian,
Jadi, suku ke-20 dari barisan tersebut adalah 39. Ternyata, dalam hitungan detik selesai kan!
Rumus Deret Aritmatika
Rumus deret aritmatika juga masih memuat variabel yang sama dengan barisan, seperti variabel a, b, dan n. Secara matematis, rumus deret aritmatika dinyatakan sebagai berikut.
Dengan:
Sn = jumlah n suku pertama;
n = urutan suku;
a = suku pertama; dan
b = selisih atau beda antarsuku.
Dari rumus di atas, kira-kira berapa ya jumlah semua suku dari deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15?
Mari, kita uraikan satu per satu.
Suku pertama deret tersebut adalah 1, sehingga a = 1.
Selisih setiap sukunya adalah 2, sehingga b = 2.
Banyaknya suku = 8, sehingga n = 8.
Dengan demikian, jumlah sukunya bisa dirumuskan sebagai berikut.
Jadi, jumlah semua suku tersebut adalah 64.
Melalui rumus deret inilah, proses perhitungan menjadi lebih singkat karena kamu tidak perlu menghitung jumlahnya satu per satu. Bisa ngebayangin gak gimana ribetnya menghitung satu per satu?
Apa Perbedaan Barisan dan Deret Aritmatika?
Dari pengertian dan rumus di atas, tentu Quipperian sudah tahu kan perbedaan barisan dan deret aritmatika? Simplenya tu kalau barisan masih berupa urutan bilangannya, tapi untuk deret sudah berupa operasi penjumlahan dari bilangan tersebut. Dari sisi rumus juga sudah berbeda. Rumus barisan digunakan untuk menentukan suku ke-n dari pola suatu bilangan aritmatika. sementara rumus deret digunakan untuk menentukan hasil penjumlahan suku-suku atau bilangan aritmatika.
Barisan dan Deret Aritmatika dalam Kehidupan Sehari-Hari
Ternyata, belajar barisan dan deret itu bisa bermanfaat lho dalam kehidupan sehari-hari? Seperti apa contohnya?
- Menentukan banyaknya korek api batangan untuk menyusun pola mainan segitiga.
- Menentukan banyaknya anggota penari jika susunannya membentuk barisan aritmatika.
- Menentukan banyaknya penonton di setiap tingkatan tribun. Biasanya, setiap tingkat tribun memiliki jumlah kursi yang berbeda-beda.
Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika
Untuk mengasah pemahamanmu tentang materi ini, yuk simak contoh soal berikut.
Contoh Soal Barisan Aritmatika
Pak No membuka sebuah warung lalapan ayam. Di hari pertama buka, Pak No menyediakan 20 ekor ayam. Di hari kedua, persediaan ayam ditambah menjadi 24 ekor ayam. Di hari ketiga persediannya menjadi 28 ekor. Seminggu pertama buka, jumlah ayam ditambah dengan penambahan tetap. Berapakah jumlah ekor ayam yang disediakan Pak No pada hari ketujuh?
Pembahasan:
Diketahui:
Persediaan ayam hari pertama (U1) = a = 20
Persediaan ayam hari kedua (U2) = 24
Persediaan ayam hari ketiga (U3) = 28
Ditanya: U7 =…?
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus mencari selisihnya.
b = 24 – 20 = 4 ekor ayam
Dengan demikian,
Jadi, jumlah ekor ayam yang disediakan Pak No pada hari ketujuh adalah 44 ekor ayam.
Contoh Soal Deret Aritmatika
Di suatu gedung rapat, terdapat kursi 10 baris kursi dengan pola tertentu. Banyaknya kursi di baris pertama adalah 25. Di baris kedua, bertambah sebanyak 6 kursi. Tambahan yang sama berlaku pada baris-baris selanjutnya. Ternyata, semua kursinya terisi penuh oleh peserta rapat. Jika ¼ dari peserta rapatnya berjenis kelamin laki-laki, berapakah jumlah peserta perempuan?
Pembahasan:
Diketahui:
n = 10
a = 25
b = 6
Ditanya: jumlah peserta rapat perempuan =…?
Jawab:
Mula-mula, kamu harus mencari banyaknya kursi di gedung rapat tersebut. Gunakan persamaan pada deret aritmatika.
Oleh karena semua kursi terisi penuh, maka seluruh peserta rapatnya berjumlah 520. Jika ¼ peserta rapatnya berjenis kelamin laki-laki, maka ¾ pesertanya berjenis kelamin perempuan. Dengan demikian, banyaknya peserta perempuan dirumuskan sebagai berikut.
Jadi, jumlah peserta perempuan dalam rapat tersebut adalah 390.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk melihat materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!