Hai Quipperian, pernahkah kamu mendengar mikroorganisme bernama amoeba? Salah satu keunikan amoeba adalah mampu membelah diri menjadi dua kali lipat jumlah semula. Contoh, satu amoeba akan membelah diri menjadi dua amoeba, dua amoeba akan membelah diri menjadi empat amoeba, dan seterusnya. Jika diurutkan, banyaknya amoeba setelah membelah diri akan membentuk pola barisan yang disebut barisan geometri, lho. Apa yang dimaksud barisan geometri? Yuk, simak selengkapnya!
Apa itu Barisan dan Deret?
Sebelum belajar lebih lanjut tentang barisan dan deret geometri, kamu harus tahu dulu apa itu barisan dan deret. Barisan adalah pola suatu bilangan dengan aturan atau ketentuan tertentu. Sementara deret adalah bentuk penjumlahan dari suatu pola bilangan atau barisan.
Pengertian Barisan dan Deret Geometri
Sama seperti aritmatika, geometri juga terdiri dari barisan dan deret atau kamu biasa menyebutnya sebagai barisan geometri dan deret geometri. Apa perbedaan antara barisan dan deret geometri?
Pengertian Barisan Geometri
Barisan geometri adalah pola bilangan atau urutan bilangan yang memiliki perbandingan atau rasio tetap antarsukunya. Contohnya seperti pada pembelahan amoeba, di mana satu amoeba akan membelah diri menjadi dua, dua amoeba akan membelah diri menjadi empat, dan seterusnya. Jika dinyatakan sebagai barisan geometri, akan menjadi 1, 2, 4, 8, 16, 32, dan seterusnya. Bilangan 1, 2, 4, 8, …, n disebut sebagai suku atau penyusun barisan. Secara matematis, suku dilambangkan sebagai Un (suku ke-n). Sementara itu, nilai perbandingan antara Un+1 dan Un disebut sebagai rasio. Secara matematis, rasio dilambangkan sebagai r. nilai rasio tidak selalu r > 1, ya. Jika nilai sukunya semakin mengecil, sudah pasti rentang rasionya r < 1. Suku pertama (U1) pada barisan geometri dilambangkan sebagai a.
Pengertian Deret Geometri
Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri. Secara matematis, deret geometri dilambangkan sebagai Sn. Contohnya saat kamu diminta untuk menentukan jumlah seluruh amoeba setelah membelah diri 10 kali. Lantas, apa perbedaan deret geometri dan deret aritmatika? Perbedaannya, deret geometri berlaku untuk barisan geometri, sedangkan deret aritmatika berlaku untuk barisan aritmatika.
Bagaimana Ciri Barisan dan Deret Geometri
Seperti Quipperian ketahui bahwa barisan dan deret itu banyak macamnya. Lantas, apa sih ciri suatu barisan dan deret geometri itu?
Ciri Barisan Geometri
Ciri barisan geometri yang membedakannya dengan barisan aritmatika atau barisan lain adalah perbandingan antarsukunya selalu tetap. Artinya, suku-suku pada barisan ini merupakan kelipatan dari suku-suku sebelumnya. Kelipatan itu sesuai dengan rasionya, bisa lebih besar dari 1 atau lebih kecil dari 1. Tahukah kamu jika barisan geometri ada yang polanya tanpa batas atau tak hingga lho. Itulah mengapa, barisannya disebut barisan geometri tak hingga. Barisan ini dibagi menjadi dua, yaitu barisan geometri tak hingga konvergen dan divergen. Ciri barisan geometri tak hingga konvergen adalah rasionya berada di antara -1 dan 1 (-1 < r < 1) dan nilainya akan terus mengecil. Sementara itu, ciri barisan geometri tak hingga divergen ini adalah r > 1 dan nilainya akan terus membesar tanpa ada batas tertentu.
Ciri Deret Geometri
Ciri deret geometri adalah suku-suku yang dijumlahkan memiliki perbandingan nilai tetap. Contohnya, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … + … + …, dan seterusnya.
Rumus Barisan dan Deret Geometri
Rumus barisan geometri biasanya digunakan untuk menentukan suku ke-n dari barisan tersebut. Sementara rumus deret digunakan untuk mencari jumlah n suku tertentu dari barisan geometri. Seperti apa sih rumusnya?
Rumus Barisan Geometri
Secara matematis, rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai berikut.
Dengan ketentuan:
Un = suku ke-n;
a = suku ke-1 atau U1;
n = letak suku yang dicari; dan
r = rasio atau perbandingan antara Un+1 dan Un.
Setelah kamu tahu rumus untuk mencari suku-n, cobalah hitung berapa jumlah amoeba yang dihasilkan pada pembelahan ke-10? Jumlah awal amoebanya adalah satu, ya.
Mula-mula, kamu harus membuat barisan geometri dari pembelahan amoeba seperti berikut.
1, 2, 4, 8, 16, 31, …, …
Dari barisan di atas, diketahui:
a = U1 = 1
r = 2 : 1 = 2 atau 4 : 2 = 2
n = 10
dengan demikian:
Jadi, banyaknya amoeba di pembelahan ke-10 adalah 512.
Rumus Deret Geometri
Berdasarkan nilai rasionya, deret geometri memiliki beberapa rumus seperti berikut.
Rumus deret geometri untuk r > 1
Jika r > 1, rumus deret geometrinya dinyatakan sebagai berikut.
Dengan:
Sn = jumlah n suku barisan geometri;
a = suku ke-1 atau U1;
n = letak suku yang dicari; dan
r = rasio atau perbandingan antara Un+1 dan Un.
Rumus deret geometri untuk r <1
Jika r > 1, rumus deret geometrinya dinyatakan sebagai berikut.
Dengan:
Sn = jumlah n suku barisan geometri;
a = suku ke-1 atau U1;
n = letak suku yang dicari; dan
r = rasio atau perbandingan antara Un+1 dan Un.
Rumus deret geometri tak hingga konvergen
Deret geometri tak hingga konvergen adalah jumlah barisan geometri yang banyaknya tak hingga dengan nilai yang terus mengecil. Secara matematis, rumus deret geometri tak hingga konvergen adalah sebagai berikut.
Contoh deret geometri tak hingga konvergen adalah saat kamu menjatuhkan bola dari ketinggian tertentu. Semakin lama, ketinggian bola akan berkurang hingga kemudian berhenti.
Rumus deret geometri tak hingga divergen
Divergen artinya menyebar, sehingga deret geometri tak hingga divergen adalah jumlah barisan yang banyaknya tak hingga dengan nilai yang terus membesar. Oleh karena nilainya yang terus membesar tanpa ada batas tertentu, maka rumus deret geometri tak hingga divergen tidak bisa ditentukan karena S∞ = ∞.
Bagaimana Penerapan Barisan dan Deret Geometri dalam Kehidupan Sehari-Hari?
Penerapan barisan dan deret geometri dalam kehidupan sehari-hari adalah sebagai berikut.
- Menghitung pembelahan mikoorganisme, misalnya pada reproduksi bakteri.
- Menentukan panjang lintasan bola yang dijatuhkan dari ketinggian tertentu hingga berhenti.
- Menghitung pertumbuhan penduduk dan memperkirakan jumlah penduduk di masa mendatang.
- Menghitung peluruhan zat radioaktif.
Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri
Untuk mengasah kemampuanmu tentang materi ini, yuk simak contoh soal berikut.
Contoh Soal Barisan Geometri
Diketahui suatu deret geometri berikut.
Berapakah nilai suku ke-15?
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus mencari rasio dari barisan pada soal.
Dengan demikian, suku ke-15 bisa dicari dengan rumus berikut.
Jadi, suku ke-10 nilainya adalah x16.384.
Contoh Soal Deret Geometri
Farhan memiliki seutas tali. Lalu, tali tersebut dipotong menjadi 5 bagian dengan ketentuan, setiap potongan merupakan kelipatan potongan sebelumnya dan nilai kelipatan itu selalu tetap. Potongan tali yang paling pendeknya adalah 3 cm dan potongan tali terpanjangnya 243 cm. Berapakah panjang tali mula-mula?
Pembahasan:
Diketahui:
U1 = a = 3 cm
U5 = 243
Ditanya: Sn =…?
Jawab:
Mula-mula, kamu harus mencari rasio setiap potongan tali tersebut menggunakan SUPER “Solusi Quipper” berikut.
Lalu, tentukan panjang tali menggunakan rumus deret geometri untuk r > 1.
Jadi, panjang tali Farhan mula-mula adalah 363 cm atau 3,63 m.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!