Hai Quipperian, sejak berada di bangku SD pasti kamu sudah dikenalkan dengan istilah pecahan, kan? Biasanya, kamu diminta untuk menentukan hasil operasi suatu pecahan atau menyelesaikan permasalahan sehari-hari dengan sistem pecahan. Tahukah kamu jika pecahan merupakan bentuk bilangan rasional, lho. Lalu, apa yang dimaksud bilangan rasional? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Pengertian Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa dibentuk menjadi pecahan ab dengan b ≠ 0, a dan b termasuk bilangan bulat. Itu artinya, semua bilangan bulat, baik positif maupun negatif, termasuk bilangan rasional. Mengapa demikian? Karena semua bilangan bulat bisa dijadikan pecahan dengan penyebut 1, contoh 3 bisa diubah menjadi 31, 7 bisa diubah menjadi 71, dan seterusnya.
Notasi Bilangan Rasional
Bilangan rasional biasa disimbolkan sebagai Q. Notasi atau penulisan bilangan rasional adalah sebagai berikut.
Q = ab|a,b ∈Z, b≠0
Notasi di atas bisa diartikan bahwa pada bilangan rasional ab , a dan b termasuk elemen bilangan bulat dengan b tidak boleh nol. Contoh bilangan rasional adalah 12,57,31, dan masih banyak lainnya. Lalu, bagaimana dengan bilangan desimal?
Jika bilangan desimal tersebut bisa dijadikan pecahan, maka tetap disebut bilangan rasional. Misalnya 0,4 bisa dijadikan pecahan 410 atau 25, 0,25 bisa dijadikan pecahan 25100 atau 14, dan seterusnya.
Bentuk-Bentuk Bilangan Rasional
Suatu bilangan dikatakan rasional atau tidak mengacu pada bisa tidaknya bilangan tersebut dijadikan pecahan. Ada beberapa bentuk suatu bilangan yang bisa dijadikan pecahan, yaitu sebagai berikut.
Bilangan rasional berbentuk pecahan
Semua bentuk pecahan sudah pasti dikategorikan sebagai bilangan rasional, baik pecahan murni maupun pecahan campuran. Bilangan rasional bentuk pecahan bisa dibagi menjadi tiga, yaitu sebagai berikut.
- Pecahan murni, di mana penyebut lebih besar daripada pembilang, contoh 23.
- Pecahan campuran, di mana pembilang lebih besar daripada penyebut, contoh 32.
- Pecahan yang menghasilkan bilangan bulat, di mana penyebut bisa membagi habis pembilangnya, contoh 42=2.
Bilangan rasional berbentuk desimal dengan pengulangan angka nol
Seperti pada pembahasan sebelumnya, suatu bilangan desimal juga termasuk bilangan rasional jika bisa diubah ke dalam bentuk pecahan. Salah satu ciri yang menunjukkan bahwa bilangan desimal bisa dijadikan pecahan adalah bilangan tersebut memiliki pengulangan nol di akhir bilangannya, contoh 0,2500000 = 0,25; 0,50000 = 0,5; 0,400000 = 0,4, dan seterusnya.
Bilangan rasional berbentuk desimal dengan pengulangan teratur angka bukan nol
Bilangan desimal dengan pengulangan deret angka teratur juga bisa dijadikan pecahan, contoh 0,3333; 0,111111; 0,44444; 3,636363; dan seterusnya.
Sifat Bilangan Rasional
Sifat bilangan rasional berlaku terhadap operasi penjumlahan, perkalian, hingga gabungan antara perkalian dan penjumlahan/pengurangan. Adapun sifat-sifat yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Sifat Tertutup
Bilangan rasional bersifat tertutup, baik pada penjumlahan maupun perkalian. Sifat ini bisa dinyatakan sebagai berikut.
Tertutup terhadap penjumlahan
Pada penjumlahan bilangan rasional ab dan cd di mana a, b, c, d ∈ Q, berlaku:
Contoh:
Tertutup terhadap perkalian
Pada perkalian bilangan rasional ab dan cd di mana a, b, c, d ∈ Q, berlaku:
Contoh:
Sifat Komutatif
Sifat komutatif ini juga berlaku pada penjumlahan dan perkalian bilangan rasional.
Sifat komutatif terhadap penjumlahan
Pada penjumlahan bilangan rasional ab dan cd di mana a, b, c, d ∈ Q, berlaku:
Contoh:
Sifat komutatif terhadap perkalian
Pada perkalian bilangan rasional ab dan cd di mana a, b, c, d ∈ Q, berlaku persamaan berikut.
Contoh:
Sifat Asosiatif
Sifat asosiatif juga berlaku pada gabungan operasi antara penjumlahan dan perkalian bilangan rasional ab, cd, dan ef di mana a, b, c, d, e, f ∈ Q seperti berikut.
Perhatikan contoh berikut.
Sifat Identitas
Bilangan identitas adalah bilangan yang hanya terdiri dari angka 1 atau 0-1. Bilangan rasional juga memiliki unsur identitas, di mana unsur tersebut juga harus termasuk bilangan rasional. Operasi bilangan rasional dengan unsur identitasnya akan menghasilkan bilangan rasional itu sendiri. Adapun sifat identitas pada penjumlahan dan perkalian adalah sebagai berikut.
Identitas penjumlahan
Penjumlahan unsur identitas dan bilangan rasional akan menghasilkan bilangan rasional itu sendiri. Pada bilangan ab di mana a, b ∈ Q, berlaku:
, dengan disebut sebagai unsur identitas penjumlahan
Identitas perkalian
Perkalian unsur identitas dan bilangan rasional menghasilkan bilangan rasional itu sendiri. Pada bilangan ab di mana a, b ∈ Q, berlaku:
, dengan disebut sebagai unsur identitas perkalian
Invers Bilangan Rasional
Invers berupa bilangan rasional yang merupakan kebalikan dari bilangan rasional awalnya. Invers ini juga berlaku pada penjumlahan dan perkalian. Namun, hasil akhir keduanya tidaklah sama.
- Pada penjumlahan, jika suatu bilangan rasional dijumlahkan dengan inversnya akan menghasilkan nilai 0. Untuk bilangan ab di mana a, b ∈ Q, memiliki invers -ab, sehingga ab+-ab=0.
- Pada perkalian, jika suatu bilangan rasional dikalikan dengan inversnya akan menghasilkan nilai 1. Untuk bilangan ab di mana a, b ∈ Q, memiliki invers ba, sehingga abba=1.
Perbedaan Bilangan Rasional dan Irasional
Jika ada bilangan rasional, maka sudah pasti ada bilangan irasional. Kedua bilangan tersebut termasuk dalam anggota bilangan real atau bilangan nyata. Lalu, apa perbedaan antara bilangan rasional dan irasional? Perbedaan mendasar antara keduanya terletak pada bisa tidaknya diubah menjadi pecahan, baik pecahan murni maupun campuran. Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa diubah menjadi bentuk pecahan ab di mana a, b ∈ Q. Sementara itu bilangan irasional adalah bilangan yang tidak bisa diubah menjadi pecahan ab. Ciri bilangan irasional adalah berupa bentuk desimal dengan deret angka yang tidak teratur dan bentuk akar yang tidak menghasilkan bilangan bulat, contoh 1,256398; 0,28759; 3; dan seterusnya.
Contoh Soal Bilangan Rasional
Untuk mengasah pemahamanmu, yuk simak beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh Soal 1
Tentukan bentuk rasional dari beberapa bilangan berikut.
- 0,75
- 1,121212
- 3,636363
Pembahasan:
- Bentuk rasional dari 0,75
- Bentuk rasional dari
- Bentuk rasional dari 1,12121212
Mula-mula, kamu harus memisalkan 1,12121212 sebagai x. Lalu, lakukan operasi eliminasi seperti berikut.
Dengan demikian 1,121212 = 1119.
- Bentuk rasional 3,636363
Mula-mula, kamu harus memisalkan 3,63636363 sebagai x. Lalu, lakukan operasi eliminasi seperti berikut.
Dengan demikian, bentuk rasional dari 3,636363 = 4011.
Contoh Soal 2
Tentukan apakah bentuk bilangan berikut termasuk bilangan rasional atau tidak.
- 0,83333
- 2,449489743
Pembahasan:
- Bilangan 0,83333
Perhatikan bilangan tersebut. Di bagian belakang terdapat deret angka 3 berulang. Lalu, bagaimana dengan angka 8? Angka 8 bisa dijadikan puluhan, dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan 100. Misal, 0,8333 = x, maka:
Dengan demikian, 0,8333 termasuk bilangan rasional.
- 2,449489743
Jika diperhatikan, deret angka desimalnya tidak membentuk pola tertentu atau tidak beraturan. Dengan demikian, 2,449489743 bukan termasuk bilangan rasional.
Contoh Soal 3
Tentukan bilangan berikut ini termasuk bilangan rasional atau tidak.
- 0,875
- 1,33333
Jika termasuk bilangan rasional, tentukan bentuk rasional dari bilangan tersebut!
Pembahasan:
- Bilangan 0,875
0,875 termasuk bilangan rasional karena bentuk 0,875 = 0,875000. Di akhir desimalnya terdapat angka nol berulang. Adapun bentuk rasional dari 0,875 adalah sebagai berikut.
- Bilangan 1,3333
Bilangan 1,333 termasuk bilangan rasional karena ada deret angka 3 berulang di belakang koma. Bentuk rasional dari bilangan tersebut adalah sebagai berikut.
Jadi, bilangan 0,875 dan 1,333 termasuk bilangan rasional.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!
