Home » Mapel » Matematika » Contoh Soal dan Pembahasan Dimensi Tiga – Matematika Kelas 12

Contoh Soal dan Pembahasan Dimensi Tiga – Matematika Kelas 12

Saat menggambarkan bangun ruang, mula-mula pasti kamu akan membuat titik yang dilanjutkan dengan garis, hingga terbentuk suatu bidang. Nah, ketiga elemen tersebut akan membentuk dimensi tiga atau geometri ruang. Lantas, bagaimana contoh soal yang berkaitan dengan dimensi tiga?

Contoh Soal Dimensi Tiga

Contoh soal dimensi tiga atau geometri ruang bisa ditinjau dari hubungan masing-masing elemennya, yaitu sebagai berikut.

1. Contoh soal jarak titik ke garis

Adapun contoh soal yang berkaitan dengan jarak titik ke garis pada geometri ruang adalah sebagai berikut.

Soal 1

Perhatikan gambar berikut.

Tentukan jarak antara titik S ke garis CD!

Pembahasan:

Perhatikan sisi CDHG berikut.

Berdasarkan gambar di atas, titik S diproyeksikan terhadap garis CD hingga terbentuk titik S’. 

Sementara itu, jarak antara titik S ke garis CD sama dengan panjang garis SS’. 

Oleh karena garis SS’ sejajar dengan rusuk kubus ABCD.EFGH, maka panjang SS’ = panjang rusuk kubus ABCD.EFGH = 8 cm.

Jadi, jarak antara titik S ke garis CD adalah 8 cm.

Soal 2

Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut.

Tentukan jarak antara titik E ke diagonal BD!

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut.

Oleh karena EQ tegak lurus BD,maka berdasarkan gambar di atas, jarak antara titik E ke diagonal bisa dirumuskan sebagai berikut.


Pada  segitiga EQA, siku-siku berada di A, sehingga panjangnya EQ bisa ditentukan seperti berikut.


Jadi, jarak antara titik E ke diagonal BD adalah 10√6 cm.

2. Contoh soal jarak titik ke bidang

Adapun contoh soal jarak titik ke bidang pada geometri ruang adalah sebagai berikut.

Soal 1

Sebuah balok KLMN.OPQR memiliki panjang 12 cm, lebar 5, dan tinggi 10 cm. Tentukan jarak antara titik K ke bidang LMPQ!

Pembahasan:

Pertama, kamu harus menggambarkan dahulu balok KLMN.OPQR seperti berikut.

Berdasarkan gambar di atas, jarak antara titik K ke bidang LMPQ sama dengan panjang rusuk balok, yaitu 12 cm. 

Dengan demikian, jarak antara titik K ke bidang LMPQ adalah 12 cm.

Soal 2

Sebuah limas persegi memiliki panjang sisi alas 18 cm. Sementara itu, panjang sisi tegaknya 24 cm. 

Tentukan jarak antara puncak limas terhadap alasnya!

Pembahasan:

Pertama, kamu harus menggambarkan limas persegi tersebut.

Jarak antara puncak limas dan alasnya dinyatakan sebagai TO. 

Pada persegi, panjang diagonalnya merupakan hasil perkalian antara panjang sisi dan √2

Artinya, panjang sisi AC = 18√2 cm. Berdasarkan gambar di atas, panjangnya OC bisa dirumuskan sebagai berikut.

Selanjutnya, kamu bisa mencari TO menggunakan teorema Phytagoras seperti berikut.

Jadi, jarak antara puncak limas dan bidang alasnya adalah 3√46 cm.

3. Contoh soal jarak titik ke titik

Adapun contoh soal jarak titik ke titik pada geometri ruang adalah sebagai berikut.

Soal 1

Sebuah prisma segitiga siku-siku ABC.DEF memiliki panjang sisi alas 5 cm dan sisi tegak alas 12 cm. 

Jika volume prisma tersebut 600 cm3, tentukan jarak antara titik C ke titik F.

Pembahasan:

Pertama, kamu harus menggambarkan prismanya terlebih dahulu.

Berdasarkan gambar di atas, jarak antara titik C dan F menunjukkan tinggi prisma ABC.DEF. 

Untuk mencari tinggi prismanya, gunakan persamaan volume berikut.

Jadi, jarak antara titik C dan F adalah 20 cm.

Soal 2

Sebuah kubus ABCD.EFGH digambarkan seperti berikut.

Jika kubus tersebut memiliki panjang sisi 4 cm, tentukan jarak antara titik G dan A!

Pembahasan:

Jarak antara titik G dan A merupakan panjang diagonal ruang kubus ABCD.EFGH.

Pertama, kamu harus menentukan panjang diagonal bidang AC.

Lalu, tentukan panjang diagonal ruangnya (titik G ke A) menggunakan persamaan berikut.

Jadi, jarak antara titik G ke titik A adalah 4√3 cm.

4. Contoh soal jarak garis ke garis

Adapun contoh soal jarak garis ke garis pada geometri ruang adalah sebagai berikut.

Soal 1

Sebuah balok STUV.WXYZ memiliki volume 300 cm3

Jika tinggi dan lebar baloknya berturut-turut 6 cm dan 5 cm, tentukan jarak antara garis SW dan garis TX!

Pembahasan:

Pertama, kamu harus menggambarkan baloknya terlebih dahulu.

Berdasarkan gambar di atas, jarak antara garis SW dan garis TX sama dengan panjang baloknya. 

Oleh sebab itu, kamu harus mencari panjang balok melalui persamaan volume seperti berikut.

Jadi, jarak antara garis SW dan garis TX adalah 10 cm.

Soal 2

Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut.

Jika kubus tersebut memiliki rusuk 9 cm, tentukan jarak antara garis AH dan garis BG!

Pembahasan:

Perhatikan kembali kubus berikut.

Jarak pisah antara garis AH dan BG sama dengan panjang rusuk kubus ABCD.EFGH tersebut. 

Dengan demikian, jarak antara kedua garis tersebut adalah 9 cm.

5. Contoh soal jarak garis ke bidang

Adapun contoh soal jarak garis ke bidang pada geometri ruang adalah sebagai berikut.

Soal 1

Perhatikan limas segitiga sama sisi berikut.

Jika panjang rusuk limas tersebut 12 cm, tentukan jarak antara garis CD terhadap bidang ABC!

Pembahasan:

Pertama, kamu harus menggambarkan jarak antara garis CD dan bidang ABC.

Jarak antara garis CD terhadap bidang ABC sama dengan panjangnya titik D ke titik P. 

Oleh karena alas limasnya berbentuk segitiga sama sisi, maka panjangnya DP bisa dirumuskan sebagai berikut.

Jadi, jarak antara garis CD terhadap bidang ABC adalah 6√3 cm.

Soal 2

Sebuah balok OPQR.STUV memiliki panjang, lebar, dan tinggi berturut-turut 25 cm, 15 cm, dan 20 cm. 

Tentukan jarak antara garis PQ dan bidang ORSV!

Pembahasan:

Pertama, gambarkan dahulu bangun baloknya.

Berdasarkan gambar, jarak antara garis PQ dan bidang ORSV sama dengan panjang balok itu sendiri, yaitu 25 cm.

Jadi, jarak antara garis PQ dan bidang ORSV adalah 25 cm.

6. Contoh soal dimensi tiga UTBK SBMPTN

Adapun contoh soal geometri ruang pada UTBK SBMPTN adalah sebagai berikut.

Soal 1

Suatu kubus KLMN.OPQR memuat suatu titik, yaitu titik S. 

Titik S berada di antara rusuk LN,  sehingga diperoleh perbandingan LS : LN = 1 : 2. 

Jarak titik M ke ruas garis SQ adalah 2√5 cm. Tentukan jumlah panjang rusuk kubus tersebut!

Pembahasan:

Pertama, kamu harus menggambarkan terlebih dahulu ilustrasi pada soal seperti berikut.

Berdasarkan gambar di atas, kamu dapat membuat permisalan seperti berikut.

  • Titik T merupakan perpotongan garis tinggi pada segitiga SMQ terhadap alas SQ.
  • Panjang rusuk kubusnya sebagai x.

Artinya, |M, SQ| = |MT| = panjang ruas garis MQ = 2√5 cm.

Kamu harus ingat bahwa perpotongan diagonal kubusnya sama panjang dan tepat berpotongan di tengah. 

Sementara itu, titik S berada di antara rusuk LN dengan perbandingan LS : LN = 1: 2. 

Artinya, titik S berada tepat di tengah-tengah LN dan tengah-tengah MK.

Pada segitiga SMQ, siku-siku berada di M.

KM = diagonal bidang kubus = x√2 .

MQ = rusuk kubus = x.

 

Untuk mencari nilai x, gunakan persamaan rumus luas segitiga.

Oleh karena jumlah rusuk kubus 12, maka jumlah semua rusuknya adalah 12 × 2√15 = 24√15 cm.

Jadi, panjang semua rusuk kubus KLMN.OPQR adalah 24√15 cm.

Soal 2

Suatu  kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. 

Tepat di tengah rusuk DC terdapat titik V dan di tengah rusuk AD terdapat titik Y. 

Tentukan jarak antara titik F dan garis VY!

Pembahasan:

Pertama, kamu harus menggambarkan ilustrasi kubusnya seperti berikut.

Berdasarkan gambar di atas, diperoleh:

Untuk mencari jarak titik F ke garis VY atau titik W, gunakan teorema Pythagoras berikut.

 

Jadi, jarak titik F dan garis VY adalah √262 cm.

7. Contoh soal dimensi tiga dalam kehidupan sehari-hari

Adapun contoh soal geometri ruang dalam kehidupan sehari-hari adalah sebagai berikut.

Soal 1

Sarah mengadakan pesta ulang tahun di sebuah gedung. Gedung tersebut didesain menyerupai limas segi empat. 

Panjang sisi alasnya 8 m dan panjang rusuk tegaknya 4 m. 

Tentukan jarak antara puncak gedung yang berbentuk limas ke lantai!

Pembahasan:

Pertama, kamu harus menggambarkan bentuk gedung terlebih dahulu seperti berikut.

Diketahui panjang rusuk tegak = TA = TB = TC = TD = 4 m.

Diketahui panjang sisi alas = AB = BC = CD = DA = 8 m.

Dengan demikian, jarak antara puncak gedung ke lantai sama dengan tinggi gedung itu sendiri. Dalam hal ini sama dengan tinggi limasnya.

Selanjutnya, kamu harus menentukan panjang sisi AC menggunakan teorema Phytagoras seperti berikut.

Tinggi limas memotong sisi AC tepat di tengah, yaitu di titik E. Dengan demikian,

Untuk mencari tinggi limas, gunakan persamaan teorema Phytagoras berikut.

Jadi, jarak antara puncak gedung dan lantai adalah 4√3 m.

Soal 2

Galih memiliki suatu kardus berbentuk kubus. Luas permukaan kardus tersebut adalah 54 cm2

Bagian dalam kardus akan dipasang tali untuk permainan. Tali diletakkan di salah satu titik sudut kardus bagian atas lalu dikaitkan di titik potong diagonal bidang alasnya. 

Tentukan panjang tali yang dibutuhkan Galih!

Pembahasan:

Pertama, kamu harus menggambarkan ilustrasi kardusnya.

Berdasarkan gambar di atas, panjang tali yang dibutuhkan sama dengan panjang garis FF’.

Untuk mencari panjang rusuk kardus, gunakan persamaan luas permukaan berikut.

Oleh karena kardus Galih berbentuk kubus, maka panjang diagonal bidangnya bisa ditentukan dengan persamaan berikut.

Artinya, AC = BD = 3√2 cm.

Untuk mencari panjangnya FF’, kamu bisa menggunakan teorema Phytagoras berikut.

Jadi, panjang tali yang dibutuhkan Galih adalah 1,5√6 cm.

Agar Quipperian mudah dalam mengerjakan materi geometri ruang, simak tips berikut ini.

  • Gambarkan bangun yang ditanyakan pada soal beserta nama titiknya.
  • Identifikasi hubungan antarelemen yang terdapat di dalam soal, misalnya garis, bidang, atau titik.
  • Lakukan analisis untuk mencari hubungan dari tiap elemen yang ditanyakan.

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga soal-soal di atas bisa menambah pemahaman Quipperian tentang materi dimensi tiga atau geometri ruang, ya. 

Untuk mendapatkan soal-soal serupa, yuk gabung bareng Quipper Video! Tak hanya soal, kamu juga bisa belajar lewat rangkuman dan video dari tutor-tutornya. Semangat, ya!

Penulis: Eka Viandari

Lainya untuk Anda