Integral Parsial – Matematika G12

Integral Parsial - Matematika G12

Hai Quipperian, bagaimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan tetap semangat belajar ya.

Siapa di antara Quipperian yang bercita-cita menjadi astronot? Astronot bukan pekerjaan mudah, ya, karena Quipperian harus menguasai beberapa bidang keilmuan sekaligus. Satu-satu transportasi yang bisa digunakan astronot keluar angkasa adalah pesawat ulang alik dan roket. 

Ribuan pertanyaan akan muncul tentang bagaimana bisa pesawat itu bertahan di ketinggian dengan kecepatan tinggi? Pesawat ulang alik dibawa oleh roket berkecepatan tinggi. Ada suatu titik di mana roket akan melepaskan diri karena terbakar di atmosfer. 

Untuk tahu ketinggian pesawat ulang-alik saat roket melepaskan diri, para ilmuwan biasa menggunakan persamaan matematis, yaitu integral parsial. Memangnya, seperti apa integral parsial itu? Check this out!

Pengertian Integral Parsial

Integral parsial adalah teknik pengintegralan dengan cara parsial. Apa itu teknik parsial? Teknik parsial adalah teknik penyelesaian integral dengan cara pemisalan karena komponen yang diintegralkan memuat variabel yang sama namun berbeda fungsi. Biasanya, integral parsial ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang cukup komplek. Bentuk umum integral parsial adalah sebagai berikut.

 

Adapun keterangan masing-masing variabel adalah sebagai berikut.

u = f(x), sehingga du = f(x)dx

dv = g(x)dx, sehingga v = g(x)dx

Jika f(x) berupa polinom derajat n 1, n asli, maka bentuk formula di atas bisa disederhanakan seperti skema berikut.

Tabel di atas menunjukkan bahwa, kolom fungsi f(x) di sebelah kiri merupakan fungsi yang harus diturunkan sampai turunannya bernilai 0. Sementara itu, kolom fungsi g(x) sebelah kanan harus diintegralkan sampai kolom sebelah kiri bernilai 0. Ketentuan lainnya adalah tanda fungsinya selalu beselang-seling, yaitu dari positif (+) menjadi negatif (–) dan seterusnya.

Dengan demikian, bentuk integralnya bisa dituliskan sebagai berikut.

Untuk lebih jelasnya, simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1

Tentukan hasil integral dari persamaan berikut.

Pembahasan:

Pertama, kamu harus membuat permisalan seperti pada pembahasan sebelumnya. Jika dalam memisalkan kamu menemukan adanya pangkat 2 (polinom derajat 2), gunakan cara skema agar pengerjaan menjadi lebih cepat.

Misal, u = x2 polinom derajat 2. Dengan demikian, akan lebih mudah menggunakan cara skema seperti berikut.

Contoh Soal 2

Tentukan hasil integral dari persamaan berikut.

Pembahasan:

Bentuk soal di atas diselesaikan dengan metode dasar karena tidak mengandung polinom derajat bilangan asli.

dv = dx, maka v = x

Kemudian, gunakan cara berikut.

Jadi, hasil integral dari adalah xInxx + c.

Integral Parsial pada Fungsi Trigonometri

Ternyata, fungsi trigonometri juga bisa diintegralkan, lho. Kamu akan lebih mudah memahami integral trigonometri jika sebelumnya pernah belajar tentang turunan trigonometri. Hal itu karena integral merupakan bentuk antiturunan. Bentuk integral trigonometri, khususnya sin x dan cos x, harus mengikuti alur berikut ini.

Alur di atas memiliki arti berikut.

  • Jika sin x diinteralkan, akan dihasilkan –cosx.
  • Jika cos x diintegralkan, akan dihasilkan sin x.

Mengingat fungsi sin x dan cos x bisa diintegralkan secara terus menerus, maka teknik parsial berlaku dalam hal ini. Agar lebih paham, simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 3

Tentukan hasil integral dari persamaan berikut.

 

Pembahasan:

Misal, u = x, polinom derajat 1. Untuk memudahkan, gunakan cara skema.

Jadi, hasil integral dari persamaan adalah –xcos x + sin x + c.

Integral Substitusi Parsial

Integral substitusi parsial merupakan gabungan antara integral substitusi dan integral parsial. Teknik integral ini biasa digunakan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan kompleks yang tidak bisa diselesaikan dengan integral biasa. Konsep dasar integral substitusi parsial ini adalah mengubah integral kompleks ke dalam bentuk yang lebih sederhana. Berikut ini contoh soalnya.

Contoh Soal 4

Tentukan hasil integral dari persamaan berikut.

Pembahasan:

Pertama, kamu harus membuat permisalan terlebih dahulu.

Misal:

 

Aplikasi Integral Parsial di Kehidupan Sehari-Hari

Di awal pembahasan artikel ini, Quipperian sudah dijelaskan bahwa salah satu penerapan integral parsial ini adalah untuk menentukan ketinggian maupun kecepatan roket yang akan menuju stasiun luar angkasa. Bagaimana bisa? 

Untuk menentukan ketinggian roket di titik tertentu, kamu harus mengintegralkan persamaan kecepatan roket yang sudah diketahui. Adapun persamaan yang biasa digunakan oleh para fisikawan antarariksa untuk menentukan kecepatan roket adalah sebagai berikut.

Nah, bagaimana agar para ilmuwan bisa menentukan ketinggian roket di titik tertentu pada waktu tertentu? Ketinggian roket bisa ditentukan dengan mengintegralkan persamaan di atas. Jika kamu perhatikan, persamaan di atas memuat persamaan logaritma natural (In). Oleh sebab itu, integral v(t) harus dilakukan menggunakan integral parsial.

Ternyata, penerapan integral parsial tidak terbatas pada kecepatan roket saja ya, Quipperian. Masih banyak ilmu Fisika yang membutuhkan bantuan integral ini, contohnya untuk menyelesaikan masalah sirkuit listrik, perpindahan kalor, struktur getaran, mekanika fluida, dan masih banyak lainnya.

Apakah Quipperian sudah paham dengan materi integral parsial? Semoga pembahasan Quipper Blog kali ini bisa bermanfaat buat menambah wawasan keilmuanmu tentang integral parsial. 

Jika Quipperian ingin melihat pembahasan tutor mengenai materi ini, silakan buka akun Quipper Video-nya, ya. Quipper Video menyediakan penjelasan tutor, latihan soal beserta pembahasan, dan modul yang bisa kamu jadikan referensi. Salam Quipper!

Penulis: Eka Viandari



Konsultasi langsung dengan tutor di Quipper Video Masterclass. DISKON, kode promo: CERMAT Daftar Sekarang