Hai Quipperian, sadarkan kamu jika hidup itu penuh dengan kemungkinan? Misalnya saja kamu mengikuti seleksi masuk perguruan tinggi. Apakah kamu bisa memastikan kamu lolos atau tidak lolos? Tentu tidak, ya. Hasil akhirnya hanya ada dua kemungkinan, lolos atau tidak lolos. Kemungkinan kamu lolos 50% dan kemungkinan tidak lolos juga 50%. Di dalam Matematika, kemungkinan-kemungkinan semacam itu disebut sebagai peluang. Apa yang dimaksud peluang? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Peluang adalah nilai (kuantitas) untuk menyatakan seberapa besar terjadinya suatu peristiwa. Peluang juga biasa disebut sebagai probabilitas. Pembahasan peluang ini sangat erat kaitannya dengan kehidupan sehari-hari. Mengingat, hidup itu penuh dengan kemungkinan-kemungkinan. Contoh penerapan teori peluang dalam kehidupan sehari-hari bisa kamu ambil dari hal sepele, yaitu pelemparan dadu. Apakah kamu bisa memastikan nilai mata dadu yang muncul setelah dilemparkan? Tentu tidak, ya. Tiga hal yang harus kamu ketahui untuk menentukan peluang, yaitu percobaan, ruang sampel, dan kejadian.
Pengertian Percobaan
Percobaan adalah suatu kegiatan yang menghasilkan nilai suatu peluang. Misalnya proses pelemparan dua buah dadu, pengambilan bola di dalam kotak, pengambilan kartu, dan sebagainya.
Pengertian Ruang Sampel
Ruang sampel adalah semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan sebagai S dan banyaknya elemen ruang sampel dinotasikan n(S). Misalnya, kamu melemparkan dua buah koin, kemungkinan hasil yang muncul adalah {(A,G), (G,A), (A,A), (G,G)}.
Pengertian Kejadian
Kejadian adalah hasil diharapkan terjadi pada ruang sampel. Kejadian dinotasikan sebagai A. Dengan demikian, banyaknya kejadian A dinotasikan sebagai n(A). Misalnya, berapakah banyaknya kejadian muncul 1 A dan 1 G pada pelemparan dua buah koin? Munculnya 1 A dan 1 G bisa diperoleh dari {(A,G), (G,A)}. Dengan demikian, banyaknya kejadian muncul 1 A dan 1 G adalah 2.
Peluang Suatu Kejadian
Peluang suatu kejadian erat kaitannya dengan pembahasan tentang ruang sampel dan kejadian. Peluang suatu kejadian adalah perbandingan antara jumlah suatu kejadian (n(A)) dan semua kemungkinan yang ada (n(S)). Secara matematis, rumus peluang suatu kejadian A pada ruang sampel S adalah sebagai berikut.
Dengan:
P(A) = peluang terjadinya A;
n(A) = banyaknya elemen kejadian A; dan
n(S) = banyaknya elemen ruang sampel S.
Peluang terjadinya suatu kejadian itu berada di rentang 0 dan 1. Nilai 0 menunjukkan kejadian yang mustahil terjadi atau banyaknya elemen A = 0. Sementara itu, nilai 1 menunjukkan kejadian yang pasti terjadi atau banyaknya elemen A sama dengan ruang sampel. Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut.
Contoh peluang 0 dan 1 adalah sebagai berikut.
- P(A) = 0 atau kejadian yang mustahil terjadi, misalnya laki-laki melahirkan.
- P(A) = 1 atau kejadian yang pasti terjadi, misalnya Matahari terbit dari timur.
Contoh Soal Peluang Suatu Kejadian
Adapun contoh peluang suatu kejadian adalah sebagai berikut.
Pada pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang muncul mata dadu bilangan prima!
Pembahasan:
Pada pelemparan sebuah dadu, banyaknya sampel yang mungkin terjadi adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6
Mata dadu bilangan prima (A) = {2, 3, 5} → n(A) = 3
Dengan demikian, peluang muncul mata dadu bilangan prima adalah sebagai berikut.
Jadi, peluang muncul mata dadu bilangan prima adalah 0,5.
Dari soal yang sama, berapakah peluang terambilnya mata dadu faktor dari 6?
Pada pelemparan sebuah dadu, banyaknya sampel yang mungkin terjadi adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6
Mata dadu faktor dari 6 (A) = {1, 2, 3, 6} → n(A) = 4
Dengan demikian, peluang muncul mata dadu faktor dari 6 adalah sebagai berikut.
Jadi, peluang muncul mata dadu faktor dari 6 adalah 2/3.
Permutasi
Implementasi atau penerapan peluang itu sangatlah luas. Ada kalanya, kamu diminta untuk menentukan peluang kejadian yang terjadi secara berurutan. Misalnya, peluang terambilnya bola dengan urutan merah, biru, dan kuning. Untuk menyelesaikan peluang yang memperhatikan urutan semacam ini, kamu bisa menggunakan permutasi. Secara matematis, permutasi dirumuskan sebagai berikut.
Dengan:
n = banyaknya elemen yang ada; dan
r = banyaknya elemen yang diinginkan.
Untuk lebih jelasnya, simak contoh soal berikut.
Di suatu perlombaan lari cepat, terdapat 9 peserta. Tiap-tiap peserta diberi nomor urut 1, 2, 3, sampai 9 di punggungnya. Berapakah peluang peserta nomor urut 2, 5, dan 6 keluar sebagai juara 1, 2, dan 3?
Pembahasan:
Langkah-langkah menentukan peluang suatu kejadian dengan memperhatikan urutan adalah sebagai berikut.
Mula-mula, kamu harus menentukan banyaknya ruang sampel peserta nomor 2, 5, dan 6 keluar sebagai juara 1, 2, dan 3. Dalam hal ini, gunakan persamaan permutasi 3 dari 9 unsur seperti berikut.
Diperoleh, n(S) = 504.
Selanjutnya, tentukan banyaknya kejadian A, yaitu peserta nomor 2, 5, dan 6 keluar sebagai juara 1, 2, dan 3. Oleh karena hanya ada satu kemungkinan, maka n(A) = 1.
Dengan demikian, peluang peserta nomor urut 2, 5, dan 6 keluar sebagai juara 1, 2, dan 3 adalah sebagai berikut.
Jadi, peluangnya adalah 1/504.
Sampai sini, apakah kamu sudah paham?
Kombinasi
Jika permutasi memperhatikan urutan, tidak demikian dengan kombinasi. Untuk menyelesaikan permasalahan peluang tanpa memperhatikan urutan, kamu bisa menggunakan kombinasi. Misalnya, suatu sekolah akan memilih 2 dari 10 siswa berprestasinya untuk mengikuti OSN. Dari 10 siswa tersebut, 4 diantaranya perempuan. Peluang terpilihnya satu laki-laki dan satu perempuan adalah? Dalam hal ini, urutan tidak diperhatikan. Adapun rumus kombinasi adalah sebagai berikut.
Dengan:
n = banyaknya elemen yang ada; dan
r = banyaknya elemen yang diinginkan.
Peluang Kejadian Majemuk
Kejadian majemuk adalah gabungan beberapa kejadian membentuk kejadian baru. Peluang kejadian baru inilah yang disebut sebagai peluang kejadian majemuk. Peluang kejadian majemuk dibagi menjadi:
Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Komplemen kejadian A biasa dilambangkan AC. Penjumlahan antara kejadian A dan komplemennya menghasilkan nilai satu. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.
Adapun contoh peluang komplemen suatu kejadian adalah sebagai berikut.
Pada pelemparan dua buah koin, berapakah peluang koin tanpa gunung?
Pembahasan:
Pelemparan dua buah koin akan menghasilkan kemungkinan seperti berikut.
{(A,G), (G,A), (A,A), (G,G)}
Selanjutnya, tentukan peluang munculnya koin yang ada ada gunungnya, yaitu {(A,G), (G,A), (G,G)}.
Dengan demikian, peluang munculnya koin tanpa gunung adalah sebagai berikut.
Penjumlahan Peluang
Penjumlahan peluang berlaku pada dua kejadian, yaitu kejadian saling lepas dan kejadian tak saling lepas. Apa perbedaan antara keduanya?
Kejadian saling lepas
Kejadian saling lepas adalah dua kejadian yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan. Artinya, irisan antara kedua kejadian sama dengan nol (A ∩ B = ∅). Jika kejadian A saling lepas terhadap kejadian B, maka rumus peluang keduanya dinyatakan sebagai berikut.
Contoh kejadian saling lepas adalah sebagai berikut.
Pada pelemparan dua buah dadu, berapakah peluang muncul mata dadu berjumlah 3 atau berjumlah 9?
Mula-mula, buatlah tabel kemungkinan semua mata dadu yang mungkin muncul seperti berikut.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Dari tabel di atas, diketahui:
- Mata dadu berjumlah 3 dihasilkan oleh {(1, 2), (2, 1)}, sehingga n(A) = 2.
- Mata dadu berjumlah 9 dihasilkan oleh {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}, sehingga n(B) = 4.
Artinya, kedua kejadian tidak saling mempengaruhi.
Dengan demikian, peluang muncul mata dadu berjumlah 3 atau berjumlah 9 adalah sebagai berikut.
Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah 3 atau berjumlah 9 adalah 1/6.
Kejadian tak saling lepas
Kejadian tak saling lepas adalah kejadian bisa berlangsung secara bersamaan. Pada kejadian ini, terdapat irisan antara kejadian satu dan lainnya. Jika kejadian A tidak saling lepas dengan kejadian B, maka (A ∩ B ≠ ∅). Secara matematis, peluang kejadian tidak saling lepas dirumuskan sebagai berikut.
Contoh kejadian tak saling lepas adalah sebagai berikut.
Pada pelemparan dua buah dadu, berapakah peluang muncul mata dadu yang jika dikalikan menghasilkan nilai 4 atau berjumlah 5?
Pembahasan:
Mula-mula, buatlah tabel seperti contoh sebelumnya.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Dari tabel di atas diperoleh:
- Mata dadu yang jika dikalikan menghasilkan nilai 4, yaitu {(1, 4), (2, 2), (4, 1)}, sehingga n(A) = 3.
- Mata dadu berjumlah 5, yaitu {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}, sehingga n(B) = 4.
Jika diperhatikan, terdapat elemen yang sama dari kedu kejadia, yaitu {(1, 4), (4, 1)}. Artinya, n(A ∩ B) = 2. Dengan demikian, peluang peluang muncul mata dadu yang jika dikalikan menghasilkan nilai 4 atau berjumlah 5 adalah sebagai berikut.
Jadi, peluangnya adalah 5/36.
Perkalian Peluang
Perkalian peluang berlaku pada dua kejadian, yaitu kejadian saling bebas dan kejadian bersyarat.
Kejadian saling bebas
Kejadian saling bebas adalah kejadian yang tidak saling mempengaruhi. Misalnya ada dua kejadian, yaitu A dan B. Pada kejadian saling bebas, kejadian A tidak berpengaruh pada kejadian B. Secara matematis, peluang kejadian A yang saling lepas terhadap kejadian B dirumuskan sebagai berikut.
Contoh kejadian saling bebas adalah sebagai berikut.
Pada pelemparan dua buah dadu, berapakah peluang muncul mata dadu pertama bilangan genap dan mata dadu kedua bilangan ganjil?
Pembahasan:
Munculnya mata dadu pertama bilangan genap tidak berpengaruh pada munculnya mata dadu kedua bilangan ganjil. Dengan demikian, keduanya termasuk kejadian saling bebas. Lalu, berapakah peluangnya?
- Mata dadu pertama bilangan genap, sehingga A = {2, 4, 6} atau n(A) = 3.
- Mata dadu kedua bilangan ganjil, sehingga B = {1, 3, 5} atau n(B) = 3.
Dengan demikian, peluangnya adalah sebagai berikut.
Untuk contoh lainnya, yaitu sebagai berikut.
Di dalam sebuah kotak terdapat 10 bola merah dan 15 bola ungu. Bola-bola tersebut akan diambil secara acak. Ketentuan pengambilannya adalah setelah pengambilan pertama, bola dikembalikan ke dalam kotak, barulah dilanjutkan pengambilan kedua. Tentukan peluang terambilnya bola pertama ungu dan bola kedua merah!
Pembahasan:
Mula-mula, tentukan banyaknya ruang sampel bola. Oleh karena di dalam kotak adalah 15 bola, maka n(S) = 25.
- Banyaknya bola ungu (n(A)) = 15, sehingga peluang terambilnya bola ungu adalah sebagai berikut.
- Banyaknya bola merah (n(B)) = 10, sehingga peluang terambilnya bola merah adalah sebagai berikut.
- Peluang terambilnya bola pertama ungu dan bola kedua merah adalah sebagai berikut.
Jadi, peluangnya adalah 6/25.
Kejadian bersyarat
Kejadian bersyarat juga biasa disebut kejadian tidak saling bebas. Kejadian bersyarat A terhadap B menunjukkan bahwa kejadian A berpengaruh pada kejadian B. Secara matematis, peluang kejadian bersyarat dirumuskan sebagai berikut.
Dengan:
P(B|A) = peluang kejadian B setelah terjadi kejadian A.
Contoh peluang kejadian bersyarat adalah sebagai berikut.
Di sebuah kotak, terdapat 6 pensil bermotif binatang dan 10 pensil bermotif batik. Berapakah peluang terambilnya pensil bermotif binatang pada pengambilan pertama dan pensil bermotif batik pada pengambilan kedua? Dengan ketentuan, tidak ada pengembalian sebelumnya.
Pembahasan:
Di soal tertulis bahwa tidak ada pengembalian sebelumnya. Artinya, pensil bermotif binatang yang sudah terambil tidak dikembalikan ke dalam kotak.
Mula-mula, tentukan peluang terambilnya pensil bermotif binatang pada pengambilan pertama.
Lalu, tentukan peluang terambilnya pensil bermotif batik pada pengambilan kedua tanpa pengembalian pensil sebelumnya. Oleh karena tidak ada pengembalian, maka sisa pensil totalnya adalah 16 – 1 = 15. Dengan demikian:
Terakhir, tentukan peluang seperti yang ditanyakan pada soal.
Jadi, peluangnya adalah ¼.
Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan adalah besarnya peluang suatu kejadian yang terjadi secara berulang-ulang (percobaan berulang). Secara matematis, frekuensi harapan dirumuskan sebagai berikut.
Dengan:
FHA = frekuensi harapan kejadian A;
P(A) = peluang kejadian A; dan
n = banyaknya kejadian atau percobaan.
Perhatikan contoh berikut.
Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 20 kali. Berapakah frekuensi harapan muncul mata dadu faktor dari 4?
Pembahasan:
Mula-mula, tentukan dahulu peluang muncul mata dadu faktor dari 4.
Faktor bilangan 4 = {1, 2, 4} → n(A) = 3
Dengan demikian, frekuensi harapannya adalah:
Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu faktor dari 4 adalah 10 kali.
Ternyata, banyak juga ya cakupan materi peluang itu? Masih semangat, kan?
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!
