Persamaan Linear Dua Variabel – Matematika Kelas 10

Persamaan Linear Dua Variabel - Matematika Kelas 10

Halo Quipperian! Pada sesi kali ini Quipper Blog akan membahas suatu topik yang sangat menarik lho untuk kalian yaitu Mengenal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)”. Pemahaman akan konsep SPLDV sangat diperlukan dalam penguasaan kompetensi matematika lho. Mengapa demikian ? karena konsep akan SPLDV akan dipakai kembali pada materi program linear yang akan kalian pelajar pada kelas XII dan juga dipakai sebagai model matematika untuk penyelesaian soal aplikasi pada sistem persamaan linear.  Tunggu apa lagi ? Let’s check this out!

Pengertian SPLDV

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah pasangan dari dua nilai peubah x atau y yang ekuivalen dengan bentuk umumnya yang mempunyai pasangan terurut (xo, yo). Bentuk umum dari SPLDV adalah sebagai berikut : 

ax + by = p

cx + dy = q

Sedangkan solusi dari hasil bentuk umum di atas disebut (xo,yo) disebut himpunan penyelesaiannya. Contoh SPLDV adalah sebagai berikut : 

3x + 2y = 10

9x – 7y = 43

Dan Himpunan Penyelesaiannya adalah {(x,y) (4,-1)}.

Metode Penyelesaian SPLDV

Ada beberapa metode untuk menyelesaikan SPLDV sehingga diperoleh nilai himpunan penyelesaiannya yaitu metode grafik, metode eliminasi dengan penyamaan, metode eliminasi dengan substitusi, dan metode eliminasi dengan menjumlahkan atau mengurangkan. Setiap metode mempunyai keunggulan dan kelemahannya. Penjelasannya setiap metode SPLDV adalah sebagai berikut : 

1. Metode Grafik 

Metode grafik adalah menentukan titik potong antara dua persamaan garis sehingga di dapatkan himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel tersebut. Apabila diperoleh persamaan dua garis tersebut saling sejajar, maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong. Sedangkan jika garisnya saling berhimpit maka jumlah himpunan penyelesaiannya tak berhingga. Langkah-langkah penyelesaian menggunakan metode grafik adalah sebagai berikut : 

  1. Gambarkan grafik garis ax + by = p dan cx + dy = q pada sebuah sistem koordinat Cartesius. Pada langkah ini, kita harus menentukan titik potong sumbu X dan titik potong sumbu Y nya yaitu titik potong sumbu X saat y = 0 dan titik potong sumbu Y saat x = 0. Lalu kemudian hubungan kedua titik potong tersebut sehingga diperoleh garis persamaan.
  2. Tentukan koordinat titik potong kedua garis ax + by = p dan cx + dy = q (jika ada).
  3. Tuliskan himpunan penyelesainnya.

Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian dibawah ini menggunakan metode grafik.

2x – y = 2

x + y = 4

Pembahasan : 

Titik potong kedua garis yang diperoleh adalah (2,2). Jadi himpunan penyelesaiannya dari sistem persamaan tersebut adalah (2,2).

Contoh soal :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem di bawah ini menggunakan metode grafik : 

x – y = 2

2x – 2y = -4

Pembahasan : 

Kedua garis yang dihasilkan ternyata saling sejajar, oleh sebab itu tidak ada titik potong yang di hasilkan. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong {  }

Contoh soal :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini menggunakan metode grafik : 

x – y = -2

2x – 2y = -4

Pembahasan : 

Kedua garis yang dihasilkan ternyata saling berimpit. Maka himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut tak berhingga banyaknya. 

Keunggulan dari metode grafik adalah kita dapat menentukan himpunan penyelesaiannya secara visual. Artinya hasilnya dapat diketahui secara langsung sekali lihat. Kelemahan dari metode grafik adalah tidak efektif untuk menyelesaikan soal untuk aplikasi SPLDV, tidak baik apabila angka yang ada pada persamaan linear dua variabel berbentuk desimal karena kelihatan tidak presisi pada media grafiknya. 

2. Metode Eliminasi dengan Penyamaan

Misalkan kita mempunyai SPLDV dalam variabel x dan y. Andaikan kita membuat suatu persamaan yang tidak lagi mengandung nilai x nya, maka dikatakan bahwa x telah dieliminasikan dengan penyamaan. Langkah strateginya adalah dengan mencari nilai x dari kedua persamaan yang diberikan itu (nilai y seolah-olah dianggap sebagai bilangan yang diketahui, maka dikatakan bahwa x dinyatakan dalam y). Kemudian hasil yang didapat dipersamakan. Dalam kasus ini kita juga dapat menyatakan nilai y ke dalam x, kemudian kita samakan dari persamaan-persamaan itu. Contohnya sebagai berikut : 

Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini : 

3x + 5y = 21

2x – 7y = 45

Penyelesaian : 

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah {12,-3}.

Kelemahan dari metode eliminasi dengan penyamaan adalah akan memerlukan banyak langkah (dapat sampai 4 langkah), karena misalnya salah satu variabel yang diketahui tidak langsung disubstitusi ke persamaan, namun dicari variabel yang lain menggunakan eliminasi sehingga rawan akan ketidaktelitian saat menghitung. 

3. Metode Eliminasi dengan Substitusi

Apabila kita mempunyai SPLDV dalam variabel x dan y. langkah-langkah penyelesaian metode Eliminasi dengan Substitusi adalah sebagai berikut : 

  1. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan y dalam x atau x dalam y.
  2. Substitusikan x atau y yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam persamaan lainnya.
  3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah 2.
  4. Tuliskan himpunan penyelesainnya.

Contoh soal: Metode Eliminasi dengan Substitusi
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini : 

3x + 2y = 10

9x – 7y = 43

Penyelesaian : 

Langkah 1 : nyatakan ke dalam variabel y

Langkah 2 : selesaikan nilai x dan y

Langkah 3 : substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan : 

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {4, -1}.

Keunggulan Metode Eliminasi dengan Substitusi adalah sangat mudah digunakan dan efektif untuk menyelesaikan soal SPLDV secara cepat dan tepat. Kelemahan dari metode ini adalah tidak disarankan apabila digunakan untuk masalah persamaan linear yang kompleks seperti sistem persamaan linear 3 variabel.

4. Metode Gabungan Eliminasi Menjumlahkan atau mengurangkan dan Substitusi

Apabila kita mempunyai Sistem Persamaan linear dua variabel ke dalam variabel x dan y. langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV ini adalah sebagai berikut : 

Langkah 1 : Tentukan nilai x atau y menggunakan metode eliminasi dengan menjumlahkan atau mengurangkan.

Langkah 2 : Substitusikan nilai x atau y yang diperoleh pada langkah 1 ke salah satu persamaan yang diperoleh dan selesaikanlah persamaan itu.

Langkah 3 : Tulislah himpunan penyelesaiannya.

Contoh soal : 

Carilah Himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini :

4 (x-1) + y = 5x – 3y + 6

3x – 2y – 4 = 2x + 2

Penyelesaian : 

Jabarkan persamaan di atas terlebih dahulu sehingga didapat persamaan yang sederhana : 

4 (x-1) + y = 5x – 3y + 6

    4x – 4 + y = 5x – 3y + 6

x – 4y = -10…………………….(1)

3x – 2y – 4 = 2x + 2

   3x – 2y + 4 = 2x + 2

x – 2y = -2 …………………. (2)

Langkah 1 : Tentukan nilai x dan y menggunakan metode eliminasi dan substitusi : 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {6,-2}.

Keunggulan dari Metode ini adalah mudah digunakan, dapat digunakan untuk menyelesaikan soal aplikasi SPLDV dalam kehidupan sehari-hari, dan juga relevan apabila digunakan untuk permasalahan linear yang kompleks seperti sistem persamaan linear 3 variabel. 

Aplikasi SPLDV dalam Kehidupan Sehari-hari 

Banyak permsalahan di kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan menggunakan model sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Contohnya adalah menentukan keliling dari bangun ruang, menentukan umur dari anggota keluarga, menentukan jarak dalam konsep fisika, menentukan nilai bilangan dari perbandingan masing-masing angkanya. Untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dalam aplikasi kehidupan sehari-hari ini yang memerlukan perhitungan matematika ini, kita perlu menyusun model matematika dari masalah itu. Data yang terdapat dalam masalah itu di terjemahkan ke dalam beberapa persamaan. Lalu penyelesaian dari persamaan itu digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika yang ditanyakan. 

1. Contoh soal : Masalah geometri

  1. Keliling suatu segitiga ΔXYZ sama kaki adalah 43,5 cm. panjang sisi x adalah 3 cm kurangnya dari panjang sisi y. tentukan panjang x dan y. 

Pembahasan : 

Keliling   = 43,5 cm

x + y + z = 43,5 cm
2x + y     = 43,5 cm

Misalkan x = y – 3,    x – y = 3

Lalu dibuat ke persamaan SPLDV nya menjadi : 

2x + y     =43,5
x – y       =3 +
3x           =48, 5
x             =13,5 → x-y = -3
13,5 – y = -3
y             =16,5 cm

2. Contoh soal : Masalah perbandingan umur

1. Dua tahun yang lalu umur Harry 6 kali umur Laras. Delapan belas tahun kemudian umur Harry akan menjadi dua kali umur Laras. Tentukan umur mereka masing-masing. 

Pembahasan : 

Misalkan umur Harry dan umur Laras berturut-turut adalah x tahun dan y tahun, maka : 

(x-2) = 6 (y-2)  ↔ x-6y = -10

x+18 = 2 (y+18) ↔  x-2y =18

x – 6y = -10

x – 2y = 18-

-4y = -28

                 y = 7

    y = 7  → x – 6y = -10

                   x – 6 (7) = -10

                     x = 32

Jadi, Harry berumur 32 tahun dan Laras berumur 7 tahun.

3. Contoh soal : Masalah gerakan

Pembahasan : 

Misalkan jarak A ke B adalah s, waktu yang digunakan adalah t, dan kecepatannya adalah v, maka : 

Jadi jarak kota A ke kota B adalah 165 km.

Soal dan Pembahasan dari Bank Soal Quipper

Bagaimana Quipperian sudah mulai memahami kan tentang sistem persamaan linear dua variabel, baik jenis-jenis metode nya dan langkah-langkah penyelesaiannya ? Agar kalian lebih terampil menyelesaikan soal yang berkaitan dengan SPLDV ini, Quipper Blog sajikan soal-soal dan pembahasan dari bank soal Quipper yang tentunya up to date dengan setiap ujian-ujian yang kalian hadapi seperti UN, Ujian Sekolah, dan SBMPTN. Let’s check this out!

1. Soal : Aplikasi SPLDV

Tempat parkir untuk motor dan mobil dapat menampung 20 buah kendaraan. Jumlah roda seluruhnya 56 buah. Jika banyak motor dinyatakan dengan x dan banyak mobil dinyatakan dengan y. Sistem persamaan linear dua variabel dari pernyataan di atas adalah ……….

Pembahasan : 

Misalkan : 

x = banyak motor

y = banyak mobil

  • Tempat parkir dapat menampung 20 buah kendaraan motor dan mobil, maka persamaan linearnya adalah x+y=20.
  • Jumlah total roda kendaraan adalah 56 di mana adalah 4 sehingga persamaan linearnya adalah 2x + y = 56.

Jadi, sistem persamaan linear dari pernyataan tersebut adalah : 

x + y    = 20

2x + 4y = 56

2. Soal : Aplikasi SPLDV pada penentuan nilai bilangan

Setengah bilangan pertama ditambah dengan dua kali bilangan kedua adalah -8. Sementara 2 kali bilangan pertama dikurangi bilangan kedua adalah 6. Bilangan pertama ditambah 2 kali bilangan kedua adalah ………..

Pembahasan : 

Diketahui    : Setengah bilangan pertama ditambah dengan dua kali bilangan kedua adalah -8. Sementara 2 kali bilangan pertama dikurangi bilangan kedua adalah 6. 

Ditanya : Bilangan pertama ditambah 2 kali bilangan kedua ……………….. ?

Penyelesaian :

Bilangan pertama =x

Bilangan kedua =y

Persamaan linear dua variabelnya adalah sebagai berikut : 

Diperoleh bilangan pertama ditambah dua kali bilangan kedua adalah sebagai berikut : 

Bagaimana Quipperian sudah mulai menguasai materi tentang SPLDV. Ternyata sangat mudah ya, apabila kita memperhatikan penjelasan dari Quipper Blog dan banyak berlatih soal dari bank soal Quipper. Nah, apabila kalian tertarik lebih lagi akan konsep-konsep pelajaran lainnya, ayo gabung bersama Quipper Video. Karena banyak penjelasan dari tutor-tutor kece Quipper yang berpengalaman di bidangnya serta dilengkapi dengan animasi-animasi yang eye catching sehingga membuat kamu lebih mudah memahami setiap konsep pelajaran yang dipelajari. Mari bergabung bersama Quipper. 

Penulis: William Yohanes



Konsultasi langsung dengan tutor di Quipper Video Masterclass. DISKON, kode promo: CERMAT Daftar Sekarang