Relasi dan Fungsi – Matematika G8

Relasi dan Fungsi

Hai Quipperian, bagaimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan tetap semangat belajar, ya.

Misal di depanmu ada garam, gula, lada, cuka, dan pare. Lalu kamu diminta untuk menyebutkan rasa masing-masing bahan tersebut.  Sudah pasti kamu akan mendapatkan skor 100, ya. Saat diminta menyebutkan rasa garam, sudah pasti asin, gula pasti manis, lada pasti pedas, dan pare pasti pahit. 

Apakah mungkin garam terasa manis? Tentu tidak ya. Nah, ternyata hal-hal sepele semacam itu bisa dinyatakan dalam bentuk matematis, lho. Bentuk matematis yang dimaksud adalah fungsi. Apa itu fungsi? Simak penjelasannya di artikel ini ya.

Pengertian Relasi

Pak Bejo memiliki empat anak, yaitu Putri, Sella, Bayu, dan Anggi. Masing-masing anak memiliki hobi yang berbeda-beda. Contohnya, Putri hobi berenang, Sella hobi berenang dan menggambar, Bayu hobi bermain bola, dan Anggi hobi bersepeda. 

Anak Pak Bejo dan hobinya bisa dijadikan suatu himpunan yang nantinya kedua himpunan tersebut memiliki keterkaitan satu sama lain. Misalnya, anak Pak Bejo dikelompokkan dalam himpunan A dan hobi setiap anak dikelompokkan dalam himpunan B.

A = {Putri, Sella, Bayu, Anggi}

B = {Berenang, Menggambar, Bermain Bola, Bersepeda}

Hubungan antara himpunan A dan B berkaitan dengan hobi anak-anak Pak Bejo.

  • Putri hobi berenang
  • Sella hobi berenang dan menggambar
  • Bayu hobi bermain bola
  • Anggi hobi bersepeda

Nah, jika kata hobi diganti dinyatakan dengan anak panah, akan diperoleh bentuk berikut.

Bentuk diagram panah di atas menunjukkan adanya hubungan atau relasi antara himpunan A dan B. Relasi antara keduanya adalah hobi. Dalam dunia matematika, keadaan tersebut dinamakan sebagai relasi himpunan A ke himpunan B. Jadi, menurut Quipperian relasi itu apa sih?

Relasi dari himpunan A ke himpunan B artinya aturan yang memasangkan/menghubungkan setiap anggota himpunan A dan anggota himpunan B.

Menyatakan Relasi

Untuk menyatakan relasi, kamu bisa menggunakan tiga cara, yaitu dengan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan koordinat Cartesius. Adapun bentuk ketiganya adalah sebagai berikut.

1. Diagram panah

Bentuk diagram panah ini adalah bentuk yang umum digunakan di soal-soal tentang relasi. Ciri utama diagram panah adalah adanya dua kolom terpisah di mana masing-masing kolom berisi himpunan yang bersesuaian. Lalu, kedua kolom tersebut dihubungkan dengan anak panah. Perhatikan contoh di bawah ini.

S = {Sapi, Kambing, Kera, Harimau}

P = {Rumput, Pisang, Daging}

Dua himpunan di atas memiliki relasi, yaitu makanan. Jika dinyatakan dalam bentuk diagram panah, akan menjadi seperti berikut.

2. Himpunan pasangan berurutan

Himpunan pasangan berurutan menyatakan bahwa setiap himpunan terdiri dari anggota himpunan S dan P secara berurutan atau biasa dilambangkan (x, y) dengan x S, y P. Berikut ini contohnya.

S = {Sapi, Kambing, Kera, Harimau}

P = {Rumput, Pisang, Daging}

Relasi antara kedua himpunan tersebut adalah makanan. Jika dinyatakan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan, diperoleh:

Q = {(Sapi, Rumput), (Kambing, Rumput), (Kera, Pisang), (Harimau, Daging)}

3. Koordinat Cartesius

Pernahkah Quipperian belajar tentang sistem koordinat Cartesius? Koordinat Cartesius memiliki dua sumbu, yaitu sumbu X dan Y. Setiap anggota himpunan kamu letakkan di titik yang bersesuaikan, dengan ketentuan himpunan S berada di sumbu X dan himpunan P berada di sumbu Y, seperti berikut ini.

Pengertian Fungsi

Di awal artikel kamu sudah diminta untuk menyebutkan rasa beberapa bumbu dapur, kan? Misalnya garam pasti asin, gula pasti manis, cuka pasti asam, lada pasti pedas, dan pare pasti pahit. Jika dinyatakan dalam bentuk diagram panah, akan menjadi seperti berikut.

B = {Garam, Gula, Lada, Cuka, Pare}

C = {Asin, Manis, Pedas, Asam, Pahit}

Jika kamu perhatikan, setiap anggota himpunan B berpasangan dengan satu anggota himpunan C. Artinya, setiap anggota himpunan B hanya memiliki satu pasang di himpunan C. Nah, kondisi seperti ini disebut sebagai fungsi (pemetaan).

Dengan demikian, fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap anggota himpunan B tepat dengan satu anggota himpunan C.

Dari penjelasan di atas, hal apa yang bisa Quipperian simpulkan?

Setiap fungsi merupakan relasi. Akan tetapi, tidak setiap fungsi menunjukkan relasi. Fungsi adalah bentuk relasi yang memenuhi syarat tertentu, yaitu setiap anggota himpunan asal harus memiliki satu pasang anggota himpunan hasil.

Perhatikan kembali himpunan berikut.

B = {Garam, Gula, Lada, Cuka, Pare}

C = {Asin, Manis, Pedas, Asam, Pahit}

Himpunan B disebut sebagai daerah asal (domain). Sementara himpunan C disebut sebagai daerah hasil (kodomain).

Oleh karena fungsi termasuk relasi, maka fungsi bisa dinyatakan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan koordinat Cartesius.

Menghitung Nilai Fungsi

Jika kamu menemui diagram panah seperti berikut, kira-kira apa hubungan antara domain dan kodomainnya ya?

  • Untuk sembarang anggota A, misalnya 2, daerah hasil yang ditunjuk adalah 3.
  • Untuk sembarang anggota A, misalnya 3, daerah hasil yang ditunjuk adalah 5 dan seterusnya.

Kira-kira, apa hubungan antara himpunan A dan B?

Himpunan B merupakan 2 × anggota himpunan A – 1. Secara matematis, dinyatakan sebagai berikut.

x -> 2x – 1

Jika relasi 2x – 1 dinotasikan sebagai f, maka f memetakan x ke (2x – 1). Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

f: x -> (2x – 1)

Rumusan f(x) = 2x – 1 nantinya kamu kenal sebagai rumus fungsi.

Agar pemahamanmu tentang relasi dan fungsi semakin terasah, simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan himpunan berikut.

I = {(1,2), (2, 3), (3,4), (4,5), (5,6)}

II = {(1, 2), (1, 4), (3, 6), (4, 8)}

III = {(2, 4), (3,6), (4,8)}

Himpunan yang merupakan fungsi ditunjukkan oleh nomor…

  1. I dan III
  2. I dan II
  3. II dan III
  4. I, II, dan III

Pembahasan:

Syarat suatu himpunan dikatakan fungsi adalah sebagai berikut.

  • Setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan di himpunan B
  • Setiap anggota himpunan A memiliki pasangan tepat satu anggota himpunan B.

Dari kedua syarat tersebut, diperoleh:

Himpunan I

Domain = {1, 2, 3, 4}

Kodomain = {2, 3, 4, 5, 6}

Relasi domain dan kodomainnya dinyatakan sebagai berikut.

1 -> 2

2 -> 3

3 -> 4

4 -> 5

5 -> 6

Dengan demikian, himpunan I merupakan fungsi karena semua anggota domain mempunyai pasangan tepat satu anggota kodomain.

Himpunan II

Domain = {1, 3, 4}

Kodomain = {2, 4, 6, 8}

Relasi domain dan kodomainnya dinyatakan sebagai berikut.

1 -> 2

1 -> 4

3 -> 6

4 -> 8

Dengan demikian, himpunan II bukan fungsi karena ada anggota domain yang memiliki pasangan dua anggota kodomain, yaitu 1 -> 2 dan 1 -> 4.

Himpunan III

Domain = {2, 3, 4}

Kodomain = {4, 6, 8}

Relasi domain dan kodomainnya dinyatakan sebagai berikut.

2 -> 4

3 -> 6

4 -> 8

Dengan demikian, himpunan III merupakan fungsi karena semua anggota domain mempunyai pasangan tepat satu anggota kodomain.

Jadi, yang termasuk fungsi adalah himpunan I dan III.

Jawaban: A

Contoh Soal 2

Tinggi badan Dina setiap bulan mengalami kenaikan sebesar 15 mm. Umur Dina sekarang 3 tahun. Jika tinggi badan Dina sekarang adalah 98 cm, persentase pertambahan tinggi Dina dari usia 3 tahun sampai 6 tahun adalah…

  1. 55,30%
  2. 55,20%
  3. 55,10%
  4. 55,40%

Pembahasan:

Diketahui:

Tinggi badan Dina sekarang = b = 98 cm.

Tiap bulan, tinggi badan Dina bertambah 15 mm = 1,5 cm = a.

Ditanya: Tinggi badan Dina pada umur 6 tahun =…?

Jawaban:

Misalkan f(x) = tinggi badan Dina pada bulan ke-x.

Berdasarkan hal itu, maka:

Persentase pertambahan tinggi Dina dari usia 3 tahun sampai 6 tahun adalah sebagai berikut.

 

Jadi, pertambahan tinggi Dina dari usia 3 tahun sampai 6 tahun adalah 55,10%.

Jawaban: C

Itulah pembahasan Quipper Blog tentang relasi dan fungsi. Semoga bermanfaat buat Quipperian. Meskipun masih di rumah saja, Quipperian harus giat belajar, ya. Jangan sampai ketidakhadiranmu di sekolah membuatmu lupa dengan kewajiban sebagai pelajar. Kini, belajar tak perlu ribet, cukup ambil handphone-mu lalu buka Quipper Video. Bersama Quipper Video, belajar jadi lebih mudah dan menyenangkan. Salam Quipper!

Penulis: Eka Viandari

 



Konsultasi langsung dengan tutor di Quipper Video Masterclass. DISKON, kode promo: CERMAT Daftar Sekarang