Hai Quipperian, tahukah kamu jika sistem persamaan linear itu juga berlaku untuk tiga variabel, lho. Mungkin, kamu sudah cukup mahir menyelesaikan sistem persamaan linear satu atau dua variabel. Lalu, bagaimana dengan sistem persamaan linear tiga variabel? Tak perlu khawatir ya, karena di artikel ini, Quipper Blog akan mengajak kamu untuk belajar tentang sistem persamaan linear tiga variabel lengkap dengan metode penyelesaiannya. Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!
Pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Saat membahas persamaan linear, kamu akan bertemu dengan istilah variabel. Istilah ini tentu sudah kamu kenal sejak SMP, kan? Umumnya, variabel dinyatakan dengan x. Lantas, bagaimana dengan tiga variabel? Untuk tiga variabel, biasanya dinyatakan sebagai x, y, dan z. Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sistem persamaan yang memuat tiga variabel, yaitu x, y, dan z. Contoh sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut.
Ciri utama suatu persamaan adalah adanya tanda hubung “=”. Dengan adanya tanda itu, nilai bilangan ruas kiri harus sama dengan ruas kanan. Itulah mengapa, kamu harus mencari nilai setiap variabelnya terlebih dahulu.
Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sebagai berikut.
Dengan ketentuan, a, b, c ≠ 0.
Dari ketiga bentuk umum SPLTV tersebut, kamu hanya akan mendapatkan satu solusi/ penyelesaian untuk setiap variabelnya, yaitu (x, y, z).
Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Untuk menyelesaian SPLTV, kamu bisa menggunakan tiga metode yaitu metode substitusi, metode eliminasi, dan metode gabungan. Apa perbedaan antara ketiga metode tersebut?
- Metode substitusi
Langkah penyelesaian dengan metode substitusi adalah sebagai berikut.
- Memilih persamaan yang paling sederhana untuk menyatakan salah satu variabel ke dalam bentuk fungsi variabel lainnya, misal variabel x ke dalam fungsi y dan z, atau variabel y ke dalam fungsi x dan z, atau variabel z ke dalam fungsi x dan y.
- Bentuk fungsi yang diperoleh pada poin (a) disubstitusikan ke dua persamaan lainnya, sehingga berubah menjadi sistem persamaan linear dua variabel.
- Lakukan langkah penyelesaian yang sama setelah terbentuk sistem persamaan linear dua variabel.
- Jika sudah mendapatkan dua nilai variabel, substitusikan keduanya di salah satu persamaan sehingga diperoleh semua penyelesaian variabelnya.
Untuk lebih jelasnya, simak contoh berikut ini.
Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan berikut.
Pembahasan:
Buatlah penomoran pada persamaannya seperti berikut.
Mula-mula, pilihlah persamaan yang paling sederhana, misalnya x + y + z = 6.
Lalu, nyatakan x pada persamaan (3) dalam fungsi y dan z seperti berikut.
Selanjutnya, substitusikan nilai x pada persamaan (4) ke persamaan (1), ya.
Selanjutnya, substitusikan nilai x pada persamaan (4) ke persamaan (2), ya.
Substitusikan nilai y pada persamaan (5) ke persamaan (6).
Substitusikan nilai z = 3 ke persamaan (6).
Substitusikan nilai z = 3 dan y = 2 ke persamaan (4).
Jadi, nilai (x, y, z ) yang memenuhi adalah (1, 2, 3).
- Metode eliminasi
Langkah penyelesaian metode eliminasi adalah sebagai berikut.
- Menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dengan menyamakan konstanta variabel yang ingin dieliminasi.
- Setelah terbentuk SPLDV, lakukan langkah eliminasi yang sama dengan poin (a) sampai diperoleh nilai salah satu variabel.
- Lakukan langkah yang sama sampai semua variabel diketahui.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan berikut.
Pembahasan:
Buatlah penomoran seperti pada metode sebelumnya.
Lakukan eliminasi antara persamaan (1) dan (2) untuk menghilangkan variabel y.
Selanjutnya, lakukan langkah yang sama pada persamaan (2) dan (3).
Lakukan eliminasi persamaan (4) dan (5) untuk mencari nilai x.
Lakukan eliminasi persamaan (4) dan (5) untuk mencari nilai z.
Setelah nilai x dan z diketahui, ulangi langkah eliminasi untuk menentukan nilai y.
Lakukan eliminasi antara persamaan (1) dan (2) untuk menghilangkan variabel z.
Selanjutnya, lakukan langkah yang sama pada persamaan (2) dan (3).
Lakukan eliminasi persamaan (6) dan (7) untuk mencari nilai y.
Jadi, nilai x, y, z yang memenuhi adalah -1, 3, 1.
- Metode gabungan
Metode ini merupakan gabungan antara metode substitusi dan eliminasi. Langkah penyelesaian dengan metode gabungan adalah sebagai berikut.
- Melakukan eliminasi atau menghilangkan salah satu variabel dengan menyamakan konstanta variabel yang akan dieliminasi.
- Setelah terbentuk sistem persamaan linear dua variabel, lakukan eliminasi seperti langkah (a) hingga diperoleh nilai salah satu variabel.
- Substitusikan nilai variabel yang diketahui pada salah satu persamaan linear dua variabelnya hingga diperoleh nilai variabel yang lain.
- Lakukan langkah yang sama hingga semua variabel diketahui nilainya.
Buatlah penomoran seperti pada metode sebelumnya.
Lakukan eliminasi antara persamaan (1) dan (2) untuk menghilangkan variabel y.
Selanjutnya, lakukan langkah yang sama pada persamaan (2) dan (3).
Lakukan eliminasi persamaan (4) dan (5).
Substitusikan nilai x = -1 ke persamaan (4).
Substitusikan nilai x = -1 dan z = 1 ke persamaan (1).
Jadi, nilai x, y, z yang memenuhi adalah -1, 3, 1.
Ternyata, hasil yang diperoleh dari metode eliminasi sama dengan metode gabungan. Untuk mempersingkat waktu dalam menyelesaikan soal, sebaiknya gunakan metode gabungan.
Penerapan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Penerapan SPLTV dalam kehidupan sehari-hari bisa kamu jumpai saat kamu dan teman-temanmu membeli tiga buah benda yang sama namun jumlahnya berbeda. Adapun penerapannya bisa kamu lihat pada contoh soal berikut.
Dina, Feri, dan Kiki sedang berada di toko buah. Mereka membeli tiga jenis buah yang sama, yaitu jeruk, mangga, dan pir. Banyaknya buah yang mereka beli adalah sebagai berikut.
- Dina membeli 2 kg jeruk, 1 kg mangga, dan 2 kg pir.
- Feri membeli 1 kg jeruk, 1 kg mangga, dan 1 kg pir.
- Kiki membeli 3 kg jeruk, 2 kg mangga, dan 1 kg pir.
Setelah membayar di kasir, Dina harus membayar Rp46.000, Feri harus membayar Rp27.000, dan Kiki harus membayar Rp47.000. Tentukan harga setiap kg buah tersebut!
Pembahasan:
Untuk mencari harga setiap jenis buah, kamu bisa menggunakan metode substitusi, eliminasi, maupun gabungan. Pada soal ini, Quipper Blog memilih metode gabungan.
Mula-mula, kamu harus memisalkan setiap jenis buah ke dalam bentuk variabel.
- 1 kg jeruk sebagai x
- 1 kg mangga sebagai y
- 1 kg pir sebagai z
Dengan demikian:
Lakukan eliminasi antara persamaan (1) dan (2) untuk menghilangkan variabel y.
Selanjutnya, lakukan langkah yang sama pada persamaan (2) dan (3).
Lakukan eliminasi persamaan (1) dan (2) untuk menghilangkan variabel z.
Substitusikan nilai x = 6.000 ke persamaan (2).
Substitusikan nilai x = 6.000 dan z = 13.000 ke persamaan (2).
Jadi, harga jeruk, mangga, dan pir per kg berturut-turut adalah Rp6.000, Rp8.000, dan Rp13.000.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Bersama Quipper Video, belajar jadi lebih mudah dan menyenangkan. Salam Quipper!
