Hai Quipperian, saat mendengar istilah penurunan pangkat, pasti kamu akan berpikir tentang perpindahan jabatan seseorang ke level yang lebih rendah kan? Apa jadinya jika penurunan pangkat terjadi di dunia Matematika? Tenang, di dunia Matematika gak ada jabatan-jabatan tertentu, kok. Penurunan pangkat di dunia Matematika biasanya terjadi pada fungsi aljabar, sehingga istilahnya dikenal sebagai turunan fungsi aljabar. Lalu, apa yang dimaksud turunan fungsi aljabar dan bagaimana cara menghitung turunan fungsi aljabar? Yuk, simak selengkapnya!
Pengertian Turunan Fungsi Aljabar
Turunan fungsi aljabar adalah fungsi baru hasil penurunan pangkat dari fungsi sebelumnya menurut aturan yang telah ditetapkan. Jika diimplementasikan di dalam grafik fungsi, turunan ini merupakan gradien garis singgung terhadap grafik di titik tertentu. Tingkat turunan fungsi tidak terbatas pada satu tingkat saja, tetapi juga bisa dua tingkat, tiga tingkat, dan seterusnya. Konsep turunan setiap tingkatnya juga sama. Hanya saja, fungsi yang diturunkan berbeda-beda karena mengacu pada hasil turunan sebelumnya.
Konsep Turunan Fungsi Aljabar
Pada dasarnya, turunan fungsi aljabar merupakan bentuk lain dari suatu limit fungsi yang nilainya mendekati nol. Misalnya saja, seseorang berkendara menggunakan motor dengan kecepatan 60 km/jam. Saat berkendara, apakah orang tersebut bisa mengondisikan untuk tetap berada di kecepatan itu? Tentu tidak, kan? Lalu, apa artinya 60 km/jam? Kecepatan tersebut merupakan kecepatan rata-rata. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.
Ingat, posisi orang tersebut (s) selalu berubah setiap waktu (t). Artinya, posisi bisa dinyatakan sebagai fungsi waktu (s2 = f(t) ). Nah, t2 merupakan waktu setelah bergerak selama h atau t2 = t1 + h. Jika disubstitusikan ke persamaan kecepatan rata-rata menjadi:
Untuk nilai h yang sangat kecil, h bisa dinyatakan mendekati nol (h → 0). Apa artinya? Jika nilai h mendekati nol, akan berlaku fungsi kecepatan sesaat seperti berikut.
Persamaan di atas merupakan bentuk laju perubahan jarak terhadap waktu atau turunan fungsi jarak terhadap waktu.
Jika diterapkan pada sembarang f(x), akan berlaku laju perubahan f(x) terhadap x atau turunan pertama f(x) terhadap x (f’(x)), sehingga persamaannya menjadi:
Rumus Turunan Fungsi Aljabar
Persamaan turunan yang memuat fungsi limit efektif digunakan untuk persamaan fungsi linear atau pangkat 1. Namun, rumus tersebut kurang efektif jika digunakan pada persamaan fungsi aljabar yang derajat polinomnya lebih dari 1 (pangkat lebih dari 1). Untuk itu, kamu bisa menggunakan rumus-rumus berikut.
- f(x) = b → f’(x) = 0
Suatu konstanta akan bernilai nol jika diturunkan, contoh f(x) = 15 → f’(x) = 0.
- f(x) = bx → f’(x) = b
Jika variabel x diturunkan terhadap x, akan menghasilkan 1. Contoh:
- f(x) = x → f’(x) = 1
- f(x) = 2x → f’(x) = 2
- f(x) = 5x – 3 →f’(x) = 5
- f(x) = axn → f’(x) = naxn-1
Rumus di atas berlaku untuk turunan fungsi pangkat, ya. Saat menurunkan suatu fungsi, artinya kamu sedang mencari turunan pangkat dari fungsi tersebut atau pangkatnya menjadi lebih kecil. Misal, jika variabel x2 diturunkan terhadap x, maka derajat variabelnya akan berkurang 1 menjadi x. Jika variabel x3 diturunkan terhadap x, maka derajat variabelnya akan berkurang 1 menjadi x2 dan seterusnya. Perhatikan contoh berikut.
f(x) = 6x4 + 2x3 → f’(x) = (4)(6)x3 + (3)(2)x2
= 24x3 + 6x2
Turunan fungsi aljabar juga bisa dinyatakan dalam bentuk notasi Leibniz seperti berikut.
Bagaimana Quipperian, mudah bukan turunan fungsi aljabar itu?
Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar
Turunan fungsi aljabar memiliki sifat-sifat tertentu yang nantinya bisa memudahkanmu dalam menyelesaikan soal-soal. Berikut ini sifat-sifat turunan fungsi aljabar.
Sifat di atas berlaku pada penjumlahan atau pengurangan dua fungsi atau lebih. Perhatikan contoh berikut.
Sifat di atas berlaku untuk turunan hasil kali fungsi, contohnya pada perkalian antara fungsi u(x) dan v(x). Perhatikan contoh berikut.
Sifat di atas berlaku untuk turunan fungsi pembagian, contoh pembagian antara fungsi u(x) dan v(x). Perhatikan contoh berikut.
Perhatikan contoh berikut.
Sifat di atas merupakan aturan rantai turunan fungsi aljabar. Selain menurunkan fungsi yang dipangkatkan, kamu juga harus menurunkan keseluruhan fungsinya.
Contoh Turunan Fungsi Aljabar
Adapun contoh turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut.
Tentukan turunan fungsi aljabar akar berikut.
Pembahasan:
Pada soal di atas, berlaku aturan rantai turunan fungsi aljabar. Apa maksud aturan rantai turunan?
Mula-mula, kamu harus memisalkan 2x3 – 4x sebagai u(x). Dengan demikian, persamaannya menjadi:
Selanjutnya, tentukan hasil turunannya menggunakan sifat nomor 5.
Setelah mencari turunan u, kamu harus mencari turunan f(x).
Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar
Turunan fungsi aljabar biasa diaplikasikan pada beberapa masalah matematis seperti gradien garis singgung kurva seperti berikut.
Dari grafik di atas, kamu akan mendapati garis sekan dan garis normal. Garis sekan adalah garis yang memotong grafik di dua titik. Persamaan gradien garis singgungnya bisa dinyatakan sebagai berikut.
Dari gambar di atas, x2 = x1 + h, dengan y = f(x), sehingga diperoleh:
Saat A mendekati B, nilai h akan semakin kecil. Jika nilai h sudah mendekati nol, artinya garis k akan menjadi garis singgung l dengan gradien m1 di titik A (x1, y1). Oleh sebab itu, diperoleh persamaan:
Dengan demikian, gradien merupakan turunan pertama dari fungsi suatu kurva atau grafik.
Jika nilai gradien sudah diketahui, kamu bisa menentukan persamaan garis singgungnya dengan rumus berikut.
Soal Turunan Fungsi Aljabar
Untuk mengasah kemampuanmu tentang materi ini, yuk simak contoh soal berikut.
Contoh soal 1
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 4x – 5 di titik absis 1!
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus mencari titik ordinat dengan mensubstitusikan x = 1 ke persamaan kurvanya.
y = x2 – 4x – 5
f(x) = x2 – 4x – 5
f(1) = 12 – 4(1) – 5
f(2) = -8
Dari perhitungan di atas diperoleh koordinat titik singgungnya, yaitu (1, -8).
Selanjutnya, tentukan gradien garis singgungnya.
Dengan demikian, persamaan garisnya bisa dinyatakan sebagai berikut.
y – y1 = m (x – x1)
↔ y – (-8) = -2(x – 1)
↔ y = -2x – 6
Jadi, persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 4x – 5 di titik absis 1 adalah y = -2x – 6.
Contoh soal 2
Sebuah bola ditendang dengan sudut elevasi tertentu hingga mengalami gerak parabola. Persamaan gerak bola tersebut dinyatakan sebagai h(t) = 4t – 2t2. Berapakah ketinggian maksimum bola tersebut?
Pembahasan:
Besaran yang dicari pada soal adalah ketinggian maksimum. Artinya, kecepatan di titik tertinggi sama dengan nol. Sementara itu, persamaan yang tertera pada soal adalah persamaan lintasan. Dengan demikian, kamu harus menentukan turunan pertama persamaan lintasannya.
Lalu, substitusikan nilai t = 1 s ke persamaan lintasannya.
h(t) = 4t – 2t2
h(1) = 4(1) – 2(1)2
h(1) = 2 m
Jadi, ketinggian maksimum bola tersebut adalah 2 m.
Contoh soal 3
Suatu unit UMKM pengolahan makanan ringan mampu memproduksi x unit makanan dengan biaya (2x2 – 4x + 10) dalam ribuan rupiah untuk setiap unit. Jika makanan ringan akan habis dengan harga jual Rp10.000 setiap unit, berapakah keuntungan maksimum per unit yang diperoleh UMKM tersebut?
Pembahasan:
Diketahui:
Banyak makanan = x unit
Biaya produksi per unit = 2x2 – 4x + 10 dalam ribuan
Harga jual per unit = 10 (ribuan)
Mula-mula, misalkan keuntungan perusahaan sebagai g(x).
g(x) = untung = harga jual – biaya produksi, sehingga:
g(x) = 10x – (2x2 – 4x + 10)x
= 10x – 2x3 + 4x2 – 10x
= – 2x3 + 4x2
Keuntungan maksimum diperoleh jika g’(x) = 0. Dengan demikian:
g(x) = – 2x3 + 4x2
g’(x) = -6x2 + 8x
0 = -6x2 + 8x
-6x2 + 8x = 0
3x2 – 4x = 0
x(3x – 4) = 0
x = 0 atau x = 4/3
nilai x yang memenuhi = 4/3.
Lalu, substitusikan nilai x = 4/3 ke persamaan g(x).
g(4/3) = – 2(4/3)3 + 4(4/3)2
= -4,74 + 7,11
= 2,37
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh UMKM tersebut adalah Rp2.370 per unit.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk melihat materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!