Home » Mapel » Matematika » Pengertian Vektor dengan Ruang Lingkup dan Contoh Soal

Pengertian Vektor dengan Ruang Lingkup dan Contoh Soal

Ditinjau oleh

Hai Quipperian, pernahkah kamu bermain tarik tambang? Permainan tarik tambang akan dimenangkan oleh tim yang memiliki kekuatan atau gaya total lebih besar. Jika gaya tarik ke kanan lebih besar daripada tarikan ke kiri, sudah pasti tim kanan akan memenangkannya. Peristiwa tarik tambang itu merupakan salah satu contoh penerapan vektor dalam kehidupan sehari-hari. Saat membahas vektor, ada beberapa rumus yang harus kamu pelajari. Lalu, apa saja rumus vektor itu? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!

Pengertian Vektor

Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Operasi vektor tentu berbeda dengan operasi skalar. Pada operasi skalar, kamu bisa mengoperasikan langsung suatu bilangan, misalnya 2 + 3 = 5. Namun, tidak demikian dengan vektor. Operasi vektor harus mengacu pada arah besarannya. Jika ke kanan bertanda positif, maka ke kiri harus bertanda negatif. Prinsip dasar inilah yang digunakan pada peristiwa tarik tambang.

Ruang Lingkup Vektor

Berikut ini merupakan ruang lingkup vektor.

Vektor Negatif

Vektor negatif -P adalah vektor yang memiliki nilai sama dengan vektor P, tapi arahnya berlawanan.

Vektor Nol

Vektor nol adalah vektor yang tidak memiliki panjang dengan arah sembarang. Di dalam penulisannya, vektor nol biasa dinyatakan sebagai matriks nol seperti berikut.

Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang ujungnya berada di suatu titik koordinat tertentu dengan pangkal berada di titik koordinat (0, 0). Vektor posisi biasanya memuat vektor satuan i dan j. Perhatikan contoh berikut.

Jika ditarik dari titik pusat ke titik P, maka vektor posisinya disebut OP. Panjang vektor OP bisa dicari dengan teorema Phytagoras, seperti berikut.

Lalu, bagaimana jika titik pangkalnya tidak berada di titik (0, 0)? Perhatikan gambar berikut.

Cara menentukan panjang vektor PQ, gunakan rumus vektor berikut.

Panjang atau Nilai Vektor 

Panjang atau nilai vektor adalah nilai vektor tanpa arahnya. Panjang vektor selalu bernilai positif. Untuk itulah, penulisan panjang berada di dalam tanda mutlak |…|. Rumus panjang vektor sama dengan rumus Phytagoras, yaitu sebagai berikut.

                               → jika pangkalnya berada di titik O (0, 0).

→ jika pangkalnya berada di titik P (x1, y1).

Vektor Satuan 

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki nilai 1 satuan. Cara menentukan vektor satuan adalah membagi vektor tersebut dengan panjang vektornya. Perhatikan rumus vektor berikut.

Vektor pada Bangun Dua Dimensi

Vektor pada bangun dua dimensi memiliki dua komponen, yaitu komponen vektor searah sumbu-x dan komponen vektor searah sumbu-y. Penulisan dimensi dua vektor adalah sebagai berikut.

Operasi Vektor

Jenis-jenis operasi vektor sama seperti operasi bilangan pada umumnya. Perbedaannya terletak pada cara mengoperasikannya karena melibatkan arah. Adapun bentuk-bentuk operasi vektor adalah sebagai berikut.

Penjumlahan Vektor 

Penjumlahan dua buah vektor mengacu pada dua aturan, yaitu aturan segitiga dan jajargenjang seperti berikut.

Penjumlahan vektor dengan aturan segitiga

Menurut aturan segitiga, penjumlahan dua buah vektor dilakukan dengan meletakkan pangkal salah satu vektor pada ujung vektor lainnya. Hasil penjumlahannya merupakan jarak antara pangkal salah satu vektor dan ujung vektor lainnya. Perhatikan contoh berikut.

Penjumlahan vektor dengan aturan jajargenjang

Menurut aturan jajargenjang dua buah vektor bisa dijumlahkan dengan meletakkan ujung pangkal kedua vektor pada titik yang sama seperti berikut.

Untuk P=(x1, y1) dan Q=(x2, y2), rumus penjumlahan dua vektornya bisa dinyatakan sebagai berikut.

Selisih Vektor 

Selisih vektor adalah operasi yang digunakan pada dua vektor yang memiliki arah atau tanda yang saling berlawanan. Rumus vektor selisih dinyatakan sebagai berikut.

Perhatikan contoh ilustrasi berikut.

Dari ilustrasi di atas, coba kamu perhatikan arah vektor Q. Semula arah vektor Q ke kanan. Oleh karena berlawanan, maka arah arah vektor -Q ke kiri.

Perkalian Vektor 

Rumus perkalian vektor itu bermacam-macam, tergantung dari jenis perkaliannya. Adapun jenis-jenis perkalian vektor itu adalah sebagai berikut.

Perkalian vektor dengan skalar

Perkalian vektor dengan skalar artinya, skalar menjadi pengali dari vektor yang dimaksud. Misalnya, vektor P dikali skalar m, maka vektor hasil kalinya memiliki panjang m kali panjang vektor P. Untuk arahnya, bergantung sepenuhnya pada m. Jika m > 0, hasil kalinya searah dengan vektor P, jika m = 0 akan dihasilkan vektor nol, jika m < 0, hasil kalinya berlawanan dengan arah vektor P. Rumus perkalian vektor dengan skalar adalah sebagai berikut.

Perhatikan contoh berikut.

Diketahui . Tentukan nilai dari 2 ∙ P!

Pembahasan:

Jadi, nilai 2 ∙ P = 4 -10 .

Perkalian vektor dengan sudut tidak diketahui

Pada prinsipnya, rumus perkalian titik antara dua buah vektor memiliki cara yang sama seperti perkalian pada umumnya. Rumus perkalian antara vektor P=(x1, y1) dan vektor Q=(x2, y2) adalah sebagai berikut.

Perkalian vektor dengan sudut diketahui

Jika posisi dua buah vektor membentuk sudut tertentu, maka rumus perkaliannya adalah sebagai berikut.

Dengan:

α = sudut yang dibentuk oleh vektor P dan Q

Untuk mencari nilai cos α, gunakan rumus berikut.

Resultan Vektor

Resultan vektor adalah panjang dari suatu vektor. Perhatikan gambar berikut.

Untuk mencari resultan vektor atau panjang OR, gunakan rumus berikut.

Sementara itu, arah vektor resultannya bisa ditentukan dengan rumus berikut.

Contoh Soal Vektor

Setelah kamu tahu apa saja rumus-rumus vektor itu, yuk asah kemampuanmu dengan contoh soal berikut.

Contoh Soal 1 

Dua buah vektor berada pada posisi seperti berikut.

Tentukan hasil kali antara A dan B!

Pembahasan:

Oleh karena kedua vektor membentuk sudut, kamu bisa menentukan hasil kalinya dengan rumus berikut.

Mula-mula, tentukan dahulu |A| dan |B|.

Lalu, substitusikan pada persamaan tersebut.

Jadi, hasil kali antara A dan B adalah 9,87.

Contoh Soal 2

Diketahui dua vektor berikut.

Berapakah nilai cosinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor?

Pembahasan:

Langkah pertama, kamu harus menentukan panjang vektor  p dan q. 

Selanjutnya, gunakan persamaan berikut.

Jadi, nilai cosinus yang dibentuk oleh kedua vektor adalah 865.

Contoh Soal 3

Sebuah batu besar berada di tengah lapangan. Untuk memindahkan batu tersebut, dibutuhkan 2 truk penarik dengan posisi seperti berikut.

Berapakah resultan gaya yang dihasilkan oleh kedua truk penarik?

Pembahasan:

Diketahui:

FA = 120 N

FB = 150 N

α = 30o

Ditanya: FR =…?

Jawab:

Untuk menentukan resultan gaya kedua truk, gunakan persamaan berikut.

Jadi, resultan gaya tarik kedua truk adalah 234,30 N.

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!

Lainya untuk Anda