Pengertian Limit Tak Hingga, Jenis dan Langkah-langkah Menyelesaikannya

Hai Quipperian, apakah kamu pernah mendengar istilah limit? Limit pasti identik dengan pendekatan fungsi pada nilai tertentu. Artinya, limit tidak tepat menuju ke satu nilai, namun hanya bersifat mendekati. Lalu, bagaimana jika nilai yang didekati menuju tak hingga? Untuk kasus tak hingga seperti ini bisa kamu selesaikan dengan konsep limit tak hingga. Lalu, apa yang dimaksud limit tak hingga? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya!

Pengertian Limit Tak Hingga

Limit tak hingga adalah pendekatan suatu fungsi pada suatu nilai yang besarnya tak terhingga, baik negatif tak terhingga maupun positif tak terhingga (-∞ sampai ∞). Sebelum ke konsep limitnya, kamu harus paham bagaimana bentuk pembagian suatu bilangan dengan bilangan tak berhingga. Jika suatu bilangan dibagi bilangan tak berhingga, pasti hasilnya akan sangat kecil sekali. Bahkan bisa mendekati nol. Oleh sebab itu, pembagian suatu bilangan dengan bilangan tak berhingga dianggap sama dengan nol. Contoh:

Jika suatu bilangan dikali bilangan tak berhingga, sudah pasti hasilnya bilangan tak berhingga juga, contoh 10 × ∞ = ∞.

Konsep pembagian seperti contoh di atas bisa kamu jadikan dasar untuk mempelajari limit tak hingga, ya.

Jenis-Jenis Limit Tak Hingga

Berdasarkan fungsinya, limit tak hingga dibagi menjadi dua, yaitu limit fungsi aljabar dan limit fungsi trigonometri. Apa perbedaan antara kedua limit tersebut?

Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar

Limit fungsi aljabar adalah limit yang fungsinya berupa fungsi aljabar. Hal-hal yang akan kamu pelajari terkait limit tak hingga fungsi aljabar adalah sebagai berikut.

Bentuk Dasar Limit Tak Hingga

Bentuk dasar limit fungsi tak hingga sama seperti limit fungsi yang lain. Hanya saja, batas variabel limit ini merupakan bilangan tak berhingga (∞). Adapun bentuk umum limit tak hingga adalah:

Dengan:

f (x) = fungsi; dan

x = variabel fungsi.

Daripada penasaran, inilah contoh bentuk limit tak hingga.

Coba kamu substitusikan nilai x = ∞. Berapa hasil yang kamu peroleh? Pasti sedikit membingungkan ya? Ada beberapa bentuk tak tentu yang harus kamu hindari saat mengerjakan limit tak hingga, yakni:

  • Bentuk
  • Bentuk ∞ – ∞ 
  • Bentuk ∞ × ∞ 

Bagaimana cara menghindari bentuk-bentuk di atas? Kamu harus memanipulasi fungsi sedemikian sehingga diperoleh hasil yang tidak sama dengan bentuk yang telah disebutkan. Pada contoh , kira-kira bagaimana bentuk manipulasi fungsinya?

Kamu bisa membagi fungsi di atas dengan variabel pangkat tertinggi di bagian penyebut, yaitu 1/x. Dengan demikian:

Jadi, nilai limit fungsinya adalah ∞.

Bentuk Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar

Untuk memudahkanmu dalam menyelesaikan soal-soal terkait limit tak hingga, ada beberapa bentuk yang bisa kamu jadikan acuan. Dari bentuk tersebut, kamu akan bisa mendapatkan trik cepat untuk menyelesaikan limit fungsi tak hingga.

Bentuk Pertama

Bentuk pertama berlaku untuk pecahan fungsi derajat polinom yang dilambangkan sebagai p(x) dan q(x). 

Jika kamu menjumpai bentuk limit fungsi seperti di atas, lakukan manipulasi dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi yang sama seperti di bagian penyebutnya.

Tanpa manipulasi fungsi, akan diperoleh bentuk akhir .

Melalui manipulasi fungsi sedemikian sehingga, diperoleh solusi seperti di bawah ini.

  • Jika nilai m = n, maka hasil limitnya = .
  • Jika nilai m < n , maka hasil limitnya 0.
  • Jika m > n , maka hasil limit fungsinya ada 2, yaitu untuk hasilnya ∞, sedangkan untuk hasilnya -∞.

Perhatikan contoh berikut.

Tentukan hasil limit tak hingga berikut.

Pembahasan:

Dari fungsi di atas, diperoleh:

m = 1

n = 2

Oleh karena m < n, maka hasil limitnya = 0.

Jadi, = 0.

Ingin membuktikan langsung? Coba bagilah fungsi tersebut dengan variabel pangkat tertinggi penyebutnya.

Dari perhitungan manual, diperoleh hasil yang sama, kan?

Artinya, saat Quipperian menjumpai limit tak hingga yang memenuhi sifat pertama ini, lihat dulu pangkat tertinggi di pembilang dan penyebutnya, ya.

Bentuk Kedua

Bentuk kedua ini meliputi bentuk pecahan di mana bagian penyebutnya memuat variabel berpangkat seperti berikut.

Jika kamu substitusikan nilai ∞, akan diperoleh hasil:

Artinya, bentuk kedua limit fungsi tak hingga ini selalu sama dengan nol.

Bentuk Ketiga

Bentuk ketiga merupakan hasil pengurangan dua fungsi dalam bentuk akar.

Saat menjumpai bentuk limit fungsi seperti di atas, jangan lupa untuk mengalikannya dengan akar sekawannya, ya. Jika tidak kamu kalikan akar sekawan akar diperoleh bentuk ∞ – ∞.

Coba kamu substitusikan nilai x = ∞ pada persamaan (1).

Apa kesimpulan yang kamu dapatkan dari persamaan (1)? Dari persamaan (1) dapat disimpulkan bahwa:

  • Untuk p = q , hasil limitnya 0.
  • Untuk p > q, maka hasil limitnya ∞.
  • Untuk p < q, hasil limitnya -∞.

Berdasarkan persamaan (2) terlihat: jika p > q, maka hasil limitnya ∞ dan jika p < q, maka hasil limitnya -∞.

Bentuk Keempat

Bentuk keempat hampir sama dengan bentuk ketiga. Hanya saja, pangkat variabel tertingginya adalah 2 atau polinom derajat 2.

Cara menyelesaikan limit fungsi tak hingga bentuk keempat ini, kamu bisa menggunakan langkah yang sama dengan bentuk ketiga, yaitu mengalikan dengan akar sekawannya.

Melalui perkalian itu, dihasilkan:

Dari persamaan (1), berlaku rumus cepat berikut.

  • Untuk p > q, hasil limitnya ∞.
  • Untuk p = q, hasil limitnya .
  • Untuk p < q, hasil limitnya -∞.

Agar kamu tambah yakin, yuk simak contoh di bawah ini.

Tentukan hasil !

Pembahasan:

Cara paling cepat untuk mengerjakan soal tersebut adalah mengacu pada rumus cepat yang berlaku pada bentuk limit fungsi keempat.

Dari , diketahui bahwa koefisien pangkat tertingginya sama, yaitu 2, dengan b = 1, p = 2, dan c = -4. Sehingga hasil limitnya adalah:

Bentuk Kelima

Di antara bentuk-bentuk sebelumnya, bentuk kelima ini memiliki persamaan fungsi yang cukup sederhana, yaitu:

Perhatikan contoh di bawah ini, ya.

Tentukan nilai limit fungsi berikut.

Pembahasan:

Nilai limit diperoleh dengan mensubstitusikan nilai variabel pada fungsinya. Oleh karena fungsi 5x4 sudah tidak bisa dimanipulasi seperti fungsi-fungsi sebelumnya, maka jelaslah bahwa hasilnya = ∞.

Jadi,

Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri

Limit fungsi trigonometri adalah limit yang fungsinya berupa fungsi trigonometri. Adapun contoh limit tak hingga fungsi trigonometri adalah sebagai berikut.

Bentuk Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri

Sama seperti limit fungsi aljabar, limit fungsi trigonometri juga memiliki bentuk tertentu yang bisa kamu jadikan acuan dalam menyelesaikan hasilnya.

Bentuk Pertama

Bentuk pertama merupakan fungsi pecahan, di mana bagian penyebutnya berupa variabel seperti berikut.

Jika kamu menjumpai bentuk di atas, hasil limitnya pasti sama dengan nol.

Bentuk Kedua

Bentuk kedua merupakan limit x mendekati ∞ dari fungsi trigonometri sinx atau cos x. Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut.

Persamaan di atas berlaku untuk semua besaran sudut, ya. Misalnya 2x, 3x, dst.

Bentuk Kedua

Bentuk ketiga merupakan fungsi trigonometri yang sudutnya berupa pecahan, di mana bagian penyebutnya berupa variabel.

Untuk lebih jelasnya, simak contoh berikut.

Tentukan hasil limit dari fungsi berikut.

Pembahasan:

Mula-mula, uraikan dulu berdasarkan sifat-sifat limit.

Oleh karena , maka:

Jadi, hasil limitnya adalah 4.

Langkah-Langkah Menyelesaikan Limit Tak Hingga

Meskipun limit fungsi tak hingga memiliki beberapa bentuk, namun langkah pengerjaannya sama, yaitu sebagai berikut.

Identifikasi Bentuk Limitnya

Langkah pertama adalah mengidentifikasi bentuk limit fungsinya. Artinya, fungsi tersebut memenuhi bentuk pertama, bentuk kedua, atau bentuk lainnya. Langkah identifikasi ini bisa memudahkanmu dalam memilih solusi tercepat pada hasil limit tak hingga.

Substitusikan Nilai x = ∞ Pada Limit Fungsinya

Langkah kedua, cobalah untuk mensubstitusikan nilai x = ∞. Setelah kamu substitusikan, tentukan bentuk akhir limitnya.

Lakukan Manipulasi Fungsi

Langkah ketiga adalah memanipulasi fungsi sedemikian sehingga tidak mengubah nilai fungsi itu sendiri. Manipulasi ini bertujuan untuk menghindari bentuk tak tentu seperti yang telah disebutkan sebelumnya.

Contoh Soal Limit Tak Hingga

Agar kamu semakin paham, ayo belajar contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Tentukan hasil limit tak hingga berikut.

Pembahasan:

Mula-mula, lakukan perkalian di bagian pembilang.

Limit fungsi tak hingga di atas memenuhi bentuk pertama, dengan m = n = 2, ap = 1, dan aq = 4. Itu artinya, gunakan sifat-sifat berikut.

“Jika nilai m = n, maka hasil limitnya =

Dengan demikian:

Apabila kamu belum puas dengan cara cepat di atas, silahkan lakukan manipulasi fungsi. Caranya, bagilah pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi penyebutnya, yaitu 1/x2

Dengan manipulasi fungsi, diperoleh hasil yang sama dengan cara cepat, yaitu ¼.

Jadi, hasil limitnya adalah ¼.

Contoh Soal 2

Tentukan nilai limit berikut ini.

Pembahasan:

Menurut Quipperian, limit fungsi di atas memenuhi bentuk keberapa ya? Yaa, benar sekali. Limit fungsi di atas memenuhi bentuk keempat, yaitu .

Dengan demikian:

Dari persamaan tersebut diperoleh:

p = 4

q = 1

Oleh karena p > q, maka hasil limitnya ∞.

Jadi, nilai adalah ∞.

Mudah, kan?

Contoh Soal 3

Tentukan hasil dari limit berikut.

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan limit fungsi tak hingga trigonometri di atas, uraikan dahulu bentuk fungsinya seperti berikut.

Jadi, hasil limitnya adalah 3.

Ternyata, belajar limit tak hingga itu mudah, kan? Tetap semangat, ya!

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bisa bermanfaat buat Quipperian. Ingin mendapatkan materi lengkapnya? Yuk, buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!

Lainya Untuk Anda

Sifat Eksponen – Pengertian, Sifat, Penerapan, dan Contoh Soal

Pecahan Senilai – Operasi Hitung, Penerapan, dan Contoh Soal

Tabel Trigonometri Berdasarkan Kuadran dan Sudut Istimewa