Pahami Persamaan Garis Singgung Lingkaran dan Kurva

Hai Quipperian, sejak di SD pasti sudah kenal dengan bangun lingkaran, kan? Biasanya kamu diminta untuk menentukan luas dan keliling lingkaran tersebut. Di pembahasan ini, kamu masih akan bertemu dengan lingkaran, lho. Bedanya, kamu tidak lagi diminta untuk menentukan luas dan kelilingnya. Namun, kamu diajak untuk mempelajari persamaan garis singgung (PGS) lingkaran. Sebenarnya tidak hanya lingkaran, tapi juga kurva. Lalu, apa yang dimaksud persamaan garis singgung lingkaran dan kurva? Yuk, simak selengkapnya!

Pengertian Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung adalah persamaan garis yang menyinggung lingkaran di satu titik. Suatu garis disebut garis singgung jika memiliki tepat satu titik persekutuan atau titik potong terhadap lingkaran atau kurva. Lalu, apa perbedaan garis singgung lingkaran dan kurva? Perbedaannya terletak pada objek yang disinggung. Jika suatu garis menyinggung lingkaran, maka garis singgungnya disebut garis singgung lingkaran. Sebaliknya, jika yang disinggung berupa kurva, maka garis singgungnya disebut garis singgung kurva. Perhatikan contoh:

Dari gambar di atas, sudah jelas kan perbedaannya?

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Dengan adanya garis singgung, dihasilkan suatu titik yang disebut titik singgung. Titik singgung merupakan titik potong antara garis singgung dan jari-jari lingkaran. Dari titik singgung itu, kamu bisa menentukan persamaan garis singgungnya. Berdasarkan titik yang dilaluinya, persamaan garis singgung lingkaran bisa dicari dengan tiga cara,  yaitu sebagai berikut.

Persamaan Garis Singgung yang Melalui Satu Titik pada Lingkaran

Jika suatu garis menyinggung lingkaran yang berpusat di titik (0,0) tepat di titik A(x1, y1), maka persamaan umum garis singgungnya bisa dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

m = gradien garis singgung;

y1 = koordinat titik potong sumbu-y; dan

x1 = koordinat titik potong sumbu-x.

Oleh karena garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran, maka hasil kali gradien garis singgung dan gradien jari-jari selalu (-1). Dengan demikian:

Jika gradien tersebut disubstitusikan ke persamaan umum garis singgung lingkarn, diperoleh:

Persamaan (1) itulah yang nantinya bisa kamu gunakan untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik A(x1, y1) dengan titik pusat (0, 0).

Untuk lebih jelasnya, simak contoh di bawah ini.

Suatu garis menyinggung lingkaran di titik A (3, 4). Jika persamaan lingkarannya x2 + y2 = 25, tentukan persamaan garis singgungnya!

Pembahasan:

Mula-mula, kamu harus memastikan titik singgung (3, 4) berada pada lingkarannya. Caranya, substitusikan koordinat titik A(3, 4) ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25. Jika hasilnya sama dengan 25, maka koordinat itu merupakan benar titik singgungnya.

Setelah kamu memastikan kebenaran titik singgungnya, selanjutnya, substitusikan koordinat titik A(3, 4) ke persamaan garis singgung pada persamaan (1).

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 3x + 4y – 25 = 0. Adapun bentuk penggambaran garis singgung lingkarannya adalah seperti berikut.

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Diketahui

Jika sebuah garis bergradien m menyinggung lingkaran yang titik pusatnya (0, 0), maka persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan sebagai berikut.

Lalu, bagaimana jika titik pusat lingkaran berada di titik (a, b)? Apabila titik pusatnya (a, b), kamu bisa menggunakan persamaan di bawah ini.

Untuk lebih jelasnya, simak contoh ya.

Suatu garis yang sejajar dengan garis y = 2x + 5 menyinggung lingkaran (x – 5)2 + (y – 2)2 = 20. Tentukan persamaan garis singgung lingkarannya!

Pembahasan:

Diketahui:

a = 5

b = 2

r2 = 20

Ditanya: PGS =…?

Jawab:

Mula-mula, tentukan gradien garisnya terlebih dahulu. Oleh karena garis yang menyinggung lingkaran sejajar dengan garis y = 2x + 5, maka:

mGS = 2

Untuk menentukan PGS, gunakan persamaan berikut.

Jadi, persamaan garis singgungnya ada dua, yaitu y = 2x + 2 dan y = 2x – 18.

Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Di Luar Lingkaran

Jika sebuah garis menyinggung lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan melalui suatu titik P(x1, y1) di luar lingkaran tersebut, maka persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan menggunakan tiga cara. Kamu bisa memilih satu dari tiga cara yang ada, yaitu sebagai berikut.

  1. Persamaan garis singgung dengan gradien diketahui.
    Persamaan pertama ini memiliki langkah yang sama seperti PGS sebelumnya, yakni tentukan dahulu gradien garis dan jari-jari lingkarannya. Lalu, substitusikan keduanya pada persamaan garis singgungnya.
  1. Menggunakan diskriminan persamaan kuadrat sekutu
    Untuk garis yang menyinggung lingkaran, diskriminan persamaan kuadratnya bernilai nol (D = 0). Persamaan kuadrat itu kamu peroleh dengan mensubstitusikan variabel y persamaan garisnya pada persamaan lingkaran x2 + y2 =r2.
  1. Menggunakan persamaan garis kutub.
    Berikut ini ilustrasi suatu garis menyinggung lingkaran dan melalui suatu titik di luar lingkaran tersebut.

Agar semakin paham, yuk simak contoh berikut.

Suatu garis menyinggung lingkaran x2 + y2 = 45. Jika garis tersebut melalui suatu titik (7, 0) yang berada di luar lingkaran, tentukan persamaan garis singgungnya!

Pembahasan:

Dari tiga cara yang telah disebutkan, kira-kira Quipperian ingin cara yang mana? Oleh karena cara persamaan garis singgung dengan gradien diketahui sudah di bahas sebelumnya, maka kali ini Quipper Blog akan menggunakan cara diskriminan persamaan kuadrat sekutu, ya.

Diketahui:

x1 = 7

y1 = 0

r = √45

Ditanya: PGS =…?

Jawab:

Mula-mula, tentukan nilai gradien garisnya menggunakan persamaan umum garis seperti berikut.

Lalu, substitusikan nilai y di atas pada persamaan lingkaran x2 + y2 = 45.

Jika mengacu pada persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, diperoleh:

a = (m2 + 1)

b = 14m2

c = 49m2 – 45

Ingat, nilai diskriminan untuk garis yang menyinggung lingkaran adalah nol, sehingga:

Substitusikan nilai m1 dan m2 pada persamaan y = mx – 7m dan diperoleh:

Persamaan garis ke-1:

Persamaan garis ke-2:

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut.

Persamaan Garis Singgung Kurva

Persamaan garis singgung kurva merupakan persamaan untuk suatu garis yang menyinggung kurva di satu titik tertentu yang disebut titik singgung. Sama seperti persamaan garis singgung lingkaran, pada garis singgung kurva kamu hanya akan mendapati satu titik persekutuan. Salah satu syarat untuk menentukan persamaan garis singgung kurva adalah gradien. Jika kamu tahu gradien garisnya, maka persamaan garisnya bisa dicari. FYI, gradien merupakan turunan pertama dari fungsi kurvanya, ya.

Misalnya, fungsi suatu kurva f(x), maka gradiennya adalah f’(x). Perhatikan contoh berikut.

Jika ditinjau dari titik yang dilalui, persamaan garis singgung kurva dibagi menjadi tiga, yakni:

Persamaan Garis Singgung yang Melalui Titik (0,0)

Suatu garis k yang menyinggung kurva f(x) dan melalui titik (0,0) memiliki persamaan garis singgung seperti di bawah ini.

Dengan:

mk = gradien garis k; dan

y = persamaan garis singgung k.

Bila diketahui fungsi kurvanya, kamu bisa menentukan gradien garis k dari turunan pertama fungsi tersebut.

Persamaan Garis Singgung yang Melalui Titik (x1, y1)

Suatu garis k yang menyinggung kurva f(x) di titik (x1, y1) memiliki persamaan garis singgung seperti berikut.

Untuk lebih jelasnya, simak contoh ya.

Sebuah kurva memiliki persamaan f(x) = x2 + 3x – 18. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik (6, 2)!

Pembahasan:

Diketahui:

x1 = 6

y1 = 2

f(x) = x2 + 3x – 18

Ditanya: y =…?

Jawab:

Mula-mula, kamu harus menentukan gradiennya dengan mencari turunan pertama di titik (6, 2).

Lalu, substitusikan x = 6 ke persamaan gradien.

Terakhir, substitusikan nilai m = 15 ke PGS.

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 15xy – 88 = 0.

Persamaan Garis Singgung yang Melalui Dua Titik

Berikut ini merupakan ilustrasi garis yang menyinggung kurva di dua titik, yakni (x1, y1) dan (x2, y2).

Persamaan garis singgung kurva yang melalui dua titik bisa dinyatakan sebagai:

Dengan:

x1  = koordinat sumbu-x titik singgung ke-1;

x2 = koordinat sumbu-x titik singgung ke-2;

y1  = koordinat sumbu-y titik singgung ke-1; dan

y2 = koordinat sumbu-y titik singgung ke-2.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Agar pemahamanmu semakin terasah, yuk simak contoh soalnya.

Contoh Soal 1

Suatu garis yang sejajar dengan garis y = x + 3 menyinggung lingkaran yang memiliki persamaan (x – 1)2 + (y – 5)2 = 15. Tentukan persamaan garis singgung lingkarannya!

Pembahasan:

Diketahui:

a = 1

b = 5

r2 = 15

Ditanya: PGS =…?

Jawab:

Mula-mula, tentukan gradien garisnya terlebih dahulu. Oleh karena garis yang menyinggung lingkaran sejajar dengan garis y = x + 3, maka:

mGS = 1

Untuk menentukan PGS, gunakan persamaan berikut.

Jadi, persamaan garis singgungnya ada dua, yaitu

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = 2x2x + 4 yang melalui x = 1!

Pembahasan:

Mula-mula, tentukan dahulu nilai f(x) saat x = 1.

Artinya, garis tersebut menyinggung kurva di titik (1, 5).

Selanjutnya, tentukan gradien garisnya melalui turunan fungsi.

Terakhir, substitusikan ke persamaan garisnya.

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = 3x + 2.

Contoh Soal 3

Sebuah kurva memiliki persamaan f(x) = x2 + 2x – 6. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik (-1, 3)!

Pembahasan:

Diketahui:

x1 = -1

y1 = 3

f(x) = x2 + 2x – 6

Ditanya: y =…?

Jawab:

Mula-mula, kamu harus menentukan gradiennya dengan mencari turunan pertama di titik (-1, 3).

Lalu, substitusikan x = -1 ke persamaan gradien.

Terakhir, substitusikan nilai m = 1 ke PGS.

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah xy + 7 = 0.

Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!

Lainya Untuk Anda

Sifat Eksponen – Pengertian, Sifat, Penerapan, dan Contoh Soal

Pecahan Senilai – Operasi Hitung, Penerapan, dan Contoh Soal

Tabel Trigonometri Berdasarkan Kuadran dan Sudut Istimewa