Hai Quipperian, misalnya nih¸ kamu memiliki uang Rp10.000 sementara selisih uangmu dan uang adikmu Rp3.000. Kira-kira, berapa ya uang adikmu? Apakah Rp7.000 atau Rp13.000? Ternyata, ada dua kemungkinan jumlah uang adikmu, Rp7.000 atau Rp13.000. Dua kemungkinan solusi seperti kasus tersebut merupakan contoh penerapan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak, lho. Lalu, apa yang dimaksud persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak? Yuk, simak selengkapnya!
Persamaan Nilai Mutlak
Adapun hal-hal yang akan dipelajari pada persamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut.
Pengertian Persamaan Nilai Mutlak
Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang memuat variabel x di dalam tanda mutlak. Konsep dasar persamaan nilai mutlak ini hampir sama dengan nilai mutlak itu sendiri. Hanya saja, kamu harus mencari solusi x yang memenuhi untuk setiap persamaan. Nilai mutlak biasa dituliskan dalam kurung “| …|. Misalnya, |4|, |5|, dan seterusnya. Jika suatu bilangan berada di dalam tanda | ..|, sebenarnya nilai bilangan itu bisa positif dan bisa juga negatif. Namun, pemberian tanda mutlak menganggap bahwa nilainya selalu positif. Contoh |12| bisa bernilai -12 atau 12. Lalu, bagaimana dengan persamaan nilai mutlak? Pada persamaan nilai mutlak, tentu ada dua kemungkinan persamaan yang memenuhi, yaitu persamaan yang memuat tanda negatif maupun persamaan yang tidak memuat tanda negatif.
Bentuk Umum Persamaan Nilai Mutlak
Bentuk umum persamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut.
|ax + b| = c, dengan ax + b = c atau ax + b = –c
Pada setiap persamaan nilai mutlak, biasanya kamu diminta untuk menentukan himpunan penyelesaian dari x atau nilai x yang memenuhi. Mengingat, persamaan di dalam tanda mutlak tersebut bisa berupa dua kemungkinan, yaitu ax + b = c atau ax + b = –c. Artinya, akan ada dua nilai x yang memenuhi. Untuk |x| = |a|, berlaku x = a atau x = –a.
Contoh Persamaan Nilai Mutlak
Adapun contoh persamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut.
|x + 2| = 6
Berapakah nilai x yang memenuhi?
Pertama, kamu harus menjabarkan dua kemungkinan bentuk persamaan tersebut.
Kemungkinan 1:
x + 2 = 6
x = 4
Kemungkinan 2:
-(x + 2) = 6
(x + 2) =- 6
x = -6 – 2
x = -8
Dari penjabaran di atas, ternyata ada dua solusi nilai x, kan? Yaitu 4 dan -8.
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 4 atau –8.
Untuk membuktikannya, coba substitusikan nilai 4 atau -8 pada persamaan nilai mutlaknya.
Untuk x = 4 → |4 + 2| = 6
|6| = 6 (memenuhi)
Untuk x = -8 → |-8 + 2| = 6,
|-6| = 6 (memenuhi), ingat -6 berada di dalam tanda mutlak, sehingga
dianggap positif.
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Setelah tau apa itu persamaan nilai mutlak, kini saatnya kamu belajar pertidaksamaan nilai mutlak. Apa itu pertidaksamaan nilai mutlak?
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan linear satu variabel yang berada di dalam tanda mutlak. Konsep dasar pertidaksamaan nilai mutlak ini hampir sama dengan persamaan. Hanya saja, pada pertidaksamaan kamu harus mempertimbangkan tanda pertidaksamaan yang berlaku, misalnya “<”, “>”, “≤”, atau “≥”. Sama seperti pertidaksamaan yang lain, solusi pertidaksamaan nilai mutlak bisa ditentukan melalui garis bilangan. Namun, bukan suatu keharusan, ya. Ada beberapa tipe soal yang memang bisa dicari solusinya tanpa melalui garis bilangan.
Bentuk Umum Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Adapun bentuk umum pertidaksamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut.
, dengan tanda pertidaksamaan yang disesuaikan, bisa “<”, “>”, “≤”, atau “≥”.
Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Pertidaksamaan nilai mutlak memenuhi sifat-sifat berikut.
Pada pertidaksamaan , bilangan a, x termasuk bilangan real, sehingga berlaku:
- Untuk a≥0, maka |x|≤a, sehingga –a≤x≤a.
- Untuk a<0, maka |x|≤a, sehingga tidak ada nilai x yang memenuhi.
- Untuk |x|≥a dengan a>0, maka x≥a atau x≤-a.
- Untuk |x|<a, maka –a<x<a, sifat ini juga berlaku untuk tanda “≤”.
- Untuk |x|>a, maka x <-a atau x>a, sifat ini juga berlaku untuk tanda “≥”.
- Untuk |x|≥a, maka x2 ≥ a2, sifat ini juga berlaku untuk tanda “>”.
- Untuk |x|≤a, maka x2 ≤ a2, sifat ini juga berlaku untuk tanda “<”.
Contoh Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Agar kamu semakin paham, yuk simak contoh pertidaksamaan nilai mutlak berikut.
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut.
|2x + 3| < 7
Pembahasan:
Dari bentuk di atas, kira-kira sifat mana yang bisa kamu gunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaannya? Coba kita ambil sifat ke-4, ya.
Untuk |x|<a, maka –a<x<a
-7<2x+3<7 → kurangkan semua ruas dengan 3
-7 – 3<2x + 3 – 3<7 – 3
-10<2x<4
-5<x<4
Oleh karena penyelesaiannya 5<x<4, maka himpunan nilai x yang memenuhi adalah {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.
Contoh Soal
Untuk mengasah kemampuanmu, yuk simak beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh Soal 1
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut.
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, gunakan sifat persamaan nilai mutlak |x| = |a|, berlaku x = a atau x = –a.
Dengan demikian:
x = a
x + 3 = 2x – 1
-x = -4
x = 4
x = –a
x + 3 = -(2x – 1)
x + 3 = -2x + 1
3x = -2
x = -2/3
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah {-2/3, 4}.
Contoh Soal 2
Pak Andi merupakan petani jamur shitake. Untuk mengoptimalkan pertumbuhan miselium jamur, Pak Andi membuat suatu inkubator sebagai tempat penyimpanan baglog. Suhu inkubator jamur itu dikondisikan stabil pada suhu 26 oC. Akibat pergantian cuaca yang cukup ekstrem, suhu di dalam inkubator menyimpang sebesar 0,3 oC. Berapakah interval perubahan suhu inkubator jamur Pak Andi? Tuliskan pertidaksamaan matematisnya!
Pembahasan:
Pada soal tertulis bahwa suhu inkubator dikondisikan tetap pada 26 oC, tetapi terjadi penyimpangan 0,3 oC. Dengan demikian:
Misal suhu dilambangkan T,
|T – 26| ≤ 0,3
Untuk menentukan interval perubahan suhunya, gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak nomor 4 (tanda ≤). Diperoleh:
-0,3 ≤ |T – 26| ≤ 0,3
-0,3 + 26 ≤|T – 26 + 26| ≤ 0,3 + 26
25,7 oC ≤ T ≤ 26,3 oC
Jadi, interval perubahan suhunya adalah 25,7 oC – 26,3 oC.
Contoh Soal 3
Idealnya, waktu yang dibutuhkan atlet lari cepat untuk mencapai finish adalah 2 menit. Namun, kenyataannya atlet bisa lebih cepat atau lebih lambat dengan estimasi waktu 0,3 sekon. Tuliskan persamaan matematisnya beserta waktu tercepat dan terlama yang dibutuhkan atlet untuk sampai finish?
Pembahasan:
Misal, waktu untuk mencapai garis finish = t, dengan 2 menit = 120 s.
Dengan demikian bentuk persamaan matematisnya adalah sebagai berikut.
Dari persamaan di atas, diperoleh:
Jadi, waktu tercepat yang ditempuh atlet adalah 2 menit kurang 0,3 s dan waktu terlamanya 2 menit lebih 0,3 s.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!