Hai Quipperian, tahukah kamu jika tidak semua masalah matematis bisa diselesaikan dengan sistem persamaan, lho. Ada kalanya, permasalahan itu harus diselesaikan dengan pertidaksamaan. Terlebih lagi untuk hal-hal yang berkaitan dengan estimasi atau perkiraan. Sebagai contoh, kamu ingin membeli 2 bungkus makanan A dan 3 bungkus makanan B. Sementara uang yang kamu bawa hanya Rp100.000. Nah estimasi harga setiap makanan yang akan kamu beli itu bisa ditentukan dengan pertidaksamaan lho. Oleh karena jenis makanannya ada dua, maka pertidaksamaan yang bisa digunakan adalah pertidaksamaan linear dua variabel. Lalu, apa yang dimaksud pertidaksamaan linear dua variabel? Yuk, simak selengkapnya!
Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel, yaitu x dan y. Mengapa disebut pertidaksamaan linear? Karena pertidaksamaan ini menghasilkan grafik penyelesaian berupa garis lurus (linear). Oleh karena suatu pertidaksamaan, maka akan berlaku tanda “<”, “>”, “≤”, atau “≥”. Contoh pertidaksamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut.
Jika pada persamaan linear akan dihasilkan satu nilai tertentu, maka tidak demikian dengan pertidaksamaan. Solusi pertidaksamaan ditentukan melalui daerah penyelesaian pada grafik pertidaksamaan, sehingga memungkinkan adanya lebih dari satu penyelesaian.
Bentuk Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan linear dua variabel memiliki bentuk umum seperti berikut.
ax + by ≤c (tanda pertidaksamaannya bisa berupa “<”, “>”, “≤”, atau “≥”)
Dengan:
a = koefisien x;
b = koefisien y; dan
c = konstanta.
Perhatikan contoh pertidaksamaan linear berikut.
x + 6y ≤ 24
Arti dari pertidaksamaan di atas adalah penjumlahan antara x dan 6y harus menghasilkan nilai paling besar 24 atau lebih kecil dari itu.
Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pada pembahasan di atas telah disinggung bahwa setiap pertidaksamaan pasti memiliki daerah penyelesaian yang memungkinkan lebih dari satu solusi penyelesaian. Lalu, bagaimana cara menentukan daerah penyelesaian? Daripada penasaran, yuk ikuti langkah-langkah berikut.
- Kamu gambarkan dulu garis persamaan linearnya. Caranya dengan mengubah tanda pertidaksamaan menjadi persamaan atau “=”. Misalnya untuk menggambarkan grafik 2x + 3y < 5, kamu harus menggambarkan dulu garis persamaan 2x + 3y = 5. Selanjutnya, tentukan titik potong terhadap sumbu-x dan sumbu-y.
- Lakukan pengujian salah satu titik di luar garis. Pengujian ini bertujuan untuk menentukan sifat daerah penyelesaian, misalnya positif atau negatif. Jika salah satu sifat daerah penyelesaian diketahui, maka daerah lainnya juga pasti diketahui. Ambil daerah penyelesaian yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.
- Arsirlah daerah penyelesaian tersebut dengan ketentuan sebagai berikut.
- Daerah penyelesaian dengan tanda pertidaksamaan “≤” atau “≥” dibatasi oleh garis penuh (tidak putus-putus).
- Daerah penyelesaian dengan tanda pertidaksamaan “<” atau “>” dibatasi oleh garis putus-putus.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + y ≤ 4!
Pembahasan:
Langkah pertama, gambarkan dahulu garis dari 2x + y = 4 pada koordinat Cartesius.
Untuk menggambarkannya, tentukan nilai x saat y = 0 dan nilai y saat x = 0 seperti berikut.
| x | y | Koordinat |
| 0 | 4 | (0, 4) |
| 2 | 0 | (2, 0) |
Substitusikan koordinat (0, 4) dan (2, 0) pada koordinat Cartesius seperti berikut.
Langkah kedua, yaitu melakukan pengujian salah satu titik di luar garis. Untuk memudahkanmu, ambillah titik (0, 0), sehingga diperoleh:
2x + y < 4
0 + 0 < 4
0 < 4 (memenuhi)
Dengan demikian, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat koordinat (0, 0).
Langkah ketiga, arsirlah daerah penyelesaiannya. Oleh karena memuat tanda “≤”, maka arsiran mengenai garis seperti berikut.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah di bawah garis sampai batas garisnya.
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah sistem yang memuat beberapa pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem pertidaksamaan ini menghasilkan satu daerah penyelesaian yang dibatasi oleh garis-garis setiap persamaan linearnya. Artinya, daerah penyelesaian harus memenuhi semua pertidaksamaan yang ada. Perhatikan contoh berikut.
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
x – 3y ≤ 3
x + y ≤ 3
Pembahasan:
Langkah pertama, tentukan dahulu titik potong setiap pertidaksamaan. Lalu, substitusikan setiap titik potong ke dalam koordinat Cartesius.
Titik potong x – 3y ≤ 3
| x | y | Koordinat |
| 0 | -1 | (0, -1) |
| 3 | 0 | (3, 0) |
Titik potong x + y ≤ 3
| x | y | Koordinat |
| 0 | 3 | (0, 3) |
| 3 | 0 | (3, 0) |
Lalu, substitusikan ke dalam koordinat Cartesius seperti berikut.
Garis x – 3y = 3
Garis x + y = 3
Langkah kedua, yaitu melakukan pengujian salah satu titik di luar garis. Untuk memudahkanmu, ambillah titik (0, 0), sehingga diperoleh:
Daerah penyelesaian x – 3y ≤ 3
Daerah penyelesaian x + y ≤ 3
Jika kedua garis digabung, akan diperoleh daerah penyelesaian tunggal seperti berikut.
Jadi, daerah penyelesaiannya di bawah garis x – 3y = 3 dan di atas garis x + y = 3.
Penerapan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dalam Kehidupan
Berikut ini merupakan penerapan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari.
- Menentukan estimasi pengolahan bahan produksi.
- Menentukan estimasi keuntungan maksimum dari penjualan beberapa produk.
- Menentukan pengeluaran minimum dari pembelian satu barang atau jasa.
- Menentukan panjang maksimum kayu untuk membuat meja.
- Menentukan kisaran harga pembelian barang dan jasa yang tidak diketahui harga setiap barangnya.
Selain empat contoh di atas, masih ada contoh-contoh lainnya lho. Coba deh sebutin lainnya!
Contoh Soal Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Untuk mengasah kemampuanmu, yuk simak beberapa contoh soal berikut.
Contoh Soal 1
Abel sedang berada di acara festival makanan. Di acara tersebut, ia membeli dua jenis makanan favoritnya, yaitu takoyaki dan sate cumi. Harga setiap makanannya pun juga terbilang murah. Total harga yang harus dibayarkan Abel untuk pembelian 6 buah takoyaki dan 3 tusuk sate cumi masih di bawah Rp72.000. Tentukan daerah penyelesaian yang menunjukkan kemungkinan harga makanan Abel!
Pembahasan:
Mula-mula, kamu harus memisalkan takoyaki dan sate cumi dengan variabel tertentu.
Misal, sebuah takoyaki = x dan satu tusuk sate cumi = y
Selanjutnya, buatlah model matematis dari harga makanan yang dibeli Abel.
6 takoyaki + 3 tusuk sate cumi < 72.000
6x + 3y < 72.000
Setelah mendapatkan bentuk pertidaksamaannya, gunakan langkah-langkah mencari daerah penyelesaian.
Langkah pertama, tentukan titik potong terhadap sumbu-x dan sumbu-y.
6x + 3y < 72.000
| x | y | Koordinat |
| 0 | 24.000 | (0; 24.000) |
| 12.000 | 0 | (12.000; 0) |
Ingat, bahwa harga tidak ada yang bertanda negatif, maka berlaku syarat x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Langkah kedua, buatlah garis persamaan linearnya.
Langkah ketiga, lakukan pengujian titik di luar garis dan diperoleh hasil sebagai berikut.
Ingat, bahwa harga tidak ada yang bertanda negatif, sehingga dibatasi oleh garis x ≥ 0 dan y ≥ 0. Oleh karena tanda pertidaksamaannya “<”, maka garisnya putus-putus.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir, yaitu di bawah garis putus-putus, di atas garis x = 0, dan di sebelah kanan garis y = 0.
Contoh Soal 2
Tentukan daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan berikut.
3x – 4y < 12
x + 5y ≤ 5
x ≤ 2
Pembahasan:
Langkah pertama, tentukan semua titik potong terhadap sumbu-x dan sumbu-y.
Titik potong 3x – 4y < 12
| x | y | Koordinat |
| 0 | -3 | (0, -3) |
| 4 | 0 | (4, 0) |
Titik potong x + 5y ≤ 5
| x | y | Koordinat |
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 5 | 0 | (5, 0) |
Lalu, substitusikan ke dalam koordinat Cartesius seperti berikut.
Garis 3x – 4y = 12
Garis x + 5y = 5
Garis x = 2
Lakukan pengecekan sifat daerah penyelesaian dengan titik uji (0, 0). Dari pengecekan titik uji, diperoleh hasil sebagai berikut.
Daerah penyelesaian 3x – 4y < 12
Daerah penyelesaian x + 5y ≤ 5
Daerah penyelesaian x ≤ 2
Jika digabungkan, diperoleh daerah penyelesaian tunggal seperti berikut.
Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bisa bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!