Matematika Dasar SBMPTN Tentang Fungsi dari Sebuah Konsep Himpunan dan Relasi


Quipperian! Belajar Matematika Dasar untuk SBMPTN memang gampang-gampang susah. Tapi, pada dasarnya, jika kalian paham dengan teori dasar mengenai Fungsi dari sebuah Himpunan variabel, maka niscaya kalian akan dengan mudah menjawab soal-soal Matematik Dasar SBMPTN kelak!


Yuk kita mulai belajar tentang fungsi dari ebuah relasi antar himpunan!

Fungsi

Perhatikan relasi “anaknya” dari himpunan anak-anak (A) ke himpunan ayahanyahnya (B) seperti yang ditunjukkan dengan diagram panah berikut.

Matematika Dasar SBMPTN Tentang Fungsi dari Sebuah Konsep Himpunan dan Relasi

Setiap anak hanya mempunyai satu ayah sehingga setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

Relasi yang demikian dinamakan fungsi (pemetaan). Jadi, fungsi adalah bentuk yang khusus dari suatu relasi.

 

Bosan Ketemu Angka lagi? Ini Jurusan Tanpa Mata Kuliah Matematika

Seperti halnya relasi maka untuk mendefinisikan suatu fungsi diperlukan tiga hal pula, yaitu berikut ini.

  1. Himpunan A 2. Himpunan B 3. Suatu kalimat terbuka, yang juga disebut aturan yang mengaitkan tiap elemen x  A dengan suatu elemen tunggal y  B.

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap anggota dari A dengan tepat satu anggota dari B. Hal ini ditulis: F:A → B

Contoh 1:
Diagram panah berikut menunjukkan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Relasi mana yang merupakan fungsi?

 

Matematika Dasar SBMPTN Tentang Fungsi dari Sebuah Konsep Himpunan dan Relasi

Jawab:

  1. Bukan fungsi, sebab ada sebuah unsur dari A yang tidak punya pasangan pada B
  2. Bukan fungsi, sebsb ada sebuah unsue dari A yang berpasangan dengan dua unsur dari B
  3. Fungsi, sebab setiap unsur dari A dipasangkan dengan tepat satu anggota dari B
  4. Fungsi, sebab setiap unsur dari A dipasangkan dengan tepat satu anggota dari B

Contoh 2:

Misalkan, A himpunan negara di dunia dan B himpunan ibu kota negara, kemudian f adalah kalimat terbuka “y ibu kota x” sehingga y  B dan x  A dan y = f(x) adalah sebuah fungsi. Misalnya f(Indonesia) = Jakarta.

Misalkan, f suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, jadi f: A→ B. Grafik f* dari fungsi f terdiri dari semua pasangan terurut dengan a  A sebagai anggota pertama, dan petanya (bayangannya) adalah f(a) sebagai anggota kedua, secara matematis dapat kita tulis dalam bentuk: F * = {(a, b)│a  A, b = f(a)}.

Perlu diperhatikan bahwa f* , yaitu fungsi f: A→B adalah himpunan bagian dari A x B.

Contoh 3:

Misalkan, himpunan A = {a, b, c} dan B = {1, 2, 3}, kemudian perhatikan himpunan titik pada diagram koordinat (gambar 4.18). Himpunan titik pada Gambar 4.18 bukan merupakan grafik fungsi dari A ke B oleh karena garis vertikal yang melalui b  A, tidak memuat sebuah titik yang ada dalam himpunan tersebut.

Matematika Dasar SBMPTN Tentang Fungsi dari Sebuah Konsep Himpunan dan Relasi

Sedangkan himpunan titik pada Gambar 4.19 juga bukan merupakan grafik fungsi dari A ke B karena garis vertikal yang melalui c  A memuat dua titik yang berbeda yang ada dalam himpunan tersebut.

3 Jurusan Buat yang Suka Matematika

Misalkan f* A x B dan f* memiliki sifat sebagai berikut:

  1. Untuk tiap a  A, ada pasangan terurut (a, b)  f *
  2. Tidak ada dua pasangan terurut berlainan dalam f* yang memiliki elemen pertama sama.

Dengan demikian, pada tiap a  A ada tepat satu elemen b  B sehingga (a. b)  f * . Sifat (1) menjamin bahwa tiap elemen a  A mempunyai peta dalam himpunan B sehingga sifat (2) menjamin bahwa peta ini adalah tunggal. Dengan demikian, f mendefinisikan sebuah fungsi dari A ke B.

Jadi, ada korespondensi antara fungsi f: A→B dengan himpunan bagian dalam A x B yang memiliki sifat (1) dan (2). Akibatnya, sebuah fungsi f dapat pula didefinisikan sebagai berikut.

Suatu fungsi f dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B yang bersifat bahwa tiap a  A, sebagai anggota pertama hanya dalam satu pasangan terurut yang berada di f*

Penulis: Sritopia